Array ( [0] => 16556659 [id] => 16556659 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Diskretizace [uri] => Diskretizace [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => [[Soubor:Finite element solution.svg|vpravo|náhled|Řešení diskretizované parciální diferenciální rovnice, získané [[Metoda konečných prvků|metodou konečných prvků]].]] [1] => '''Diskretizace''' je v [[Aplikovaná matematika|aplikované matematice]] proces převodu [[Spojité zobrazení|spojitých funkcí]], modelů, proměnných, a rovnic na [[diskrétní]] protějšky. Tento proces se obvykle provádí jako první krok pro numerické vyhodnocování a implementaci na digitálním počítači. Speciálním případem diskretizace je '''dichotomizace''', při níž je počet diskrétních tříd roven 2, kterou můžeme aproximovat spojitou proměnnou pomocí [[Binární proměnná|binární proměnné]] (vytváření [[dichotomie]] pro účely [[Koncepční model|modelování]], jako při [[Dichotomický znak|binární klasifikaci]]). [2] => [3] => Diskretizace také souvisí s [[Diskrétní matematika|diskrétní matematikou]], a je důležitou komponentou [[Granulální výpočety|granulárních výpočtů]]. V tomto kontextu se může ''diskretizace'' také odkazovat na modifikace proměnné nebo kategorie ''granularity'', když se např. agreguje více diskrétních proměnných nebo když se slučuje více diskrétních kategorií. [4] => [5] => Při '''diskretizaci''' spojitých dat dochází k určité [[Diskretizační chyba|diskretizační chybě]]. Je snahou omezit její velikost na úroveň považovanou za [[zanedbatelný|zanedbatelnou]] pro požadované účely [[Koncepční model|modelování]]. [6] => [7] => {{Kotva|Discretization-quantization}} Termíny ''diskretizace '' a ''[[Kvantování (signál)|kvantizace]]'' často mají stejnou [[Denotace|denotaci]] ale ne vždy stejnou [[Konotace|konotaci]]. (Konkrétně, oba termíny sdílí [[sémantické pole]].) Totéž platí o [[Diskretizační chyba|diskretizační chybě]] a [[kvantování (signál)|kvantování]]. [8] => [9] => Mezi matematické metody používané pro diskretizaci patří [[Eulerova–Maruyamova metoda]] a [[extrapolace nultého řádu]]. [10] => [11] => == Diskretizace lineárních modelů stavového prostoru {{Kotva|discrete function}} == [12] => Diskretizace se také zabývá transformacemi spojitých [[Diferenciální rovnice|diferenciálních rovnic]] na diskrétní [[diferenční rovnice]] vhodné pro [[Numerická matematika|numerické výpočty]]. [13] => [14] => [[Stavový popis systému|Model stavového prostoru]] se spojitým časem [15] => [16] => :\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf A \mathbf{x}(t) + \mathbf B \mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t) [17] => :\mathbf{y}(t) = \mathbf C \mathbf{x}(t) + \mathbf D \mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t) [18] => [19] => kde ''v'' a ''w'' jsou spojité zdroje [[Bílý šum|bílého šumu]] s nulovým průměrem s [[Výkonová spektrální hustota|výkonovými spektrálními hustotami]] [20] => :\mathbf{w}(t) \sim N(0,\mathbf Q) [21] => :\mathbf{v}(t) \sim N(0,\mathbf R) [22] => [23] => které lze, pokud předpokládáme [[extrapolace nultého řádu]] vstupu ''u'' a spojitou integraci šumu ''v'', diskretizovat do tvaru [24] => [25] => :\mathbf{x}[k+1] = \mathbf A_d \mathbf{x}[k] + \mathbf B_d \mathbf{u}[k] + \mathbf{w}[k] [26] => :\mathbf{y}[k] = \mathbf C_d \mathbf{x}[k] + \mathbf D_d \mathbf{u}[k] + \mathbf{v}[k] [27] => [28] => s kovariancemi [29] => [30] => :\mathbf{w}[k] \sim N(0,\mathbf Q_d) [31] => :\mathbf{v}[k] \sim N(0,\mathbf R_d) [32] => [33] => kde [34] => [35] => :\mathbf A_d = e^{\mathbf A T} = \mathcal{L}^{-1}\{(s\mathbf I - \mathbf A)^{-1}\}_{t=T} [36] => :\mathbf B_d = \left( \int_{\tau=0}^{T}e^{\mathbf A \tau}d\tau \right) \mathbf B = \mathbf A^{-1}(\mathbf A_d - I)\mathbf B , pokud \mathbf A není [[Regulární matice|singulární]] [37] => :\mathbf C_d = \mathbf C [38] => :\mathbf D_d = \mathbf D [39] => :\mathbf Q_d = \int_{\tau=0}^{T} e^{\mathbf A \tau} \mathbf Q e^{\mathbf A^\top \tau} d\tau [40] => :\mathbf R_d = \mathbf R \frac{1}{T} [41] => [42] => a T je vzorkovací interval, kde \mathbf A^\top je transponovaná matice \mathbf A. Rovnice pro diskretizované měření šumu je důsledkem faktu, že spojité měření šumu je definováno výkonovou spektrální hustotou.{{Sfn|Gelb|1974|s=121}} [43] => [44] => Chytrým trikem pro výpočet ''A''''d'' a ''B''''d'' v jednom kroku je využití následující vlastnosti:{{Sfn|DeCarlo|1989|s=215}} [45] => :e^{\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ [46] => \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{pmatrix} T} = \begin{pmatrix} \mathbf{A_{d}} & \mathbf{B_{d}} \\ [47] => \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{pmatrix} [48] => [49] => Kde \mathbf A_da \mathbf B_djsou diskretizované matice stavového prostoru. [50] => [51] => === Diskretizace procesního šumu === [52] => Numerické vyhodnocení \mathbf{Q}_d může být poněkud obtížné, kvůli maticovému exponenciálnímu integrálu. Je však možné jej vypočítat tak, že nejdříve zkonstruujeme matici, a pak vypočítáme její exponenciální funkci{{Sfn|Van Loan|1978}} [53] => : \mathbf{F} = [54] => \begin{pmatrix} -\mathbf{A} & \mathbf{Q} \\ [55] => \mathbf{0} & \mathbf{A}^\top \end{pmatrix} T [56] => : \mathbf{G} = e^\mathbf{F} = [57] => \begin{pmatrix} \dots & \mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d \\ [58] => \mathbf{0} & \mathbf{A}_d^\top \end{pmatrix}. [59] => Diskretizovaný procesní šum pak lze vyčíslit znásobením transponované spodní pravé části matice '''G''' a horní pravé části matice '''G''': [60] => :\mathbf{Q}_d = (\mathbf{A}_d^\top)^\top (\mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d) = \mathbf{A}_d (\mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d). [61] => [62] => === Odvození === [63] => Začneme spojitým modelem [64] => :\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf A\mathbf x(t) + \mathbf B \mathbf u(t) [65] => víme, že [[exponenciála matice]] je [66] => :\frac{d}{dt}e^{\mathbf At} = \mathbf A e^{\mathbf At} = e^{\mathbf At} \mathbf A [67] => a přednásobením modelu dostaneme [68] => :e^{-\mathbf At} \mathbf{\dot{x}}(t) = e^{-\mathbf At} \mathbf A\mathbf x(t) + e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t) [69] => což rozpoznáváme jako [70] => :\frac{d}{dt}(e^{-\mathbf At}\mathbf x(t)) = e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t) [71] => a integrováním dostaneme [72] => :e^{-\mathbf At}\mathbf x(t) - e^0\mathbf x(0) = \int_0^t e^{-\mathbf A\tau}\mathbf B\mathbf u(\tau) d\tau [73] => :\mathbf x(t) = e^{\mathbf At}\mathbf x(0) + \int_0^t e^{\mathbf A(t-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau [74] => což je analytické řešení spojitého modelu. [75] => [76] => Nyní chceme diskretizovat výše uvedený výraz. Předpokládáme, že ''u'' je v rámci každého časového kroku [[matematická konstanta|konstantní]]. [77] => :\mathbf x[k] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf x(kT) [78] => :\mathbf x[k] = e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau [79] => :\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf A(k+1)T}\mathbf x(0) + \int_0^{(k+1)T} e^{\mathbf A((k+1)T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau [80] => :\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT} \left[ e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau \right]+ \int_{kT}^{(k+1)T} e^{\mathbf A(kT+T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau [81] => Výraz v hranatých závorkách je \mathbf x[k], a druhý člen lze zjednodušit substitucí za funkci v(\tau) = kT + T - \tau. Všimněme si, že d\tau=-dv. Také předpokládáme, že \mathbf u je při [[Integrál|integraci]] konstantní, což dává [82] => : \begin{matrix} \mathbf x[k+1]&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] - \left( \int_{v(kT)}^{v((k+1)T)} e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\ [83] => &=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] - \left( \int_T^0 e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\ [84] => &=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\ [85] => &=&e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \mathbf A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-\mathbf I \right) \mathbf B\mathbf u[k] \end{matrix} [86] => což je přesné řešení problému diskretizace. [87] => [88] => Pokud \mathbf{A} není regulární, druhý výraz můžeme stále použít po nahrazení e^{\mathbf AT} jeho [[Taylorova řada|Taylorovým rozvojem]], [89] => : e^{{\mathbf A}T} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} ({\mathbf A}T)^k . [90] => Toto dává [91] => : \begin{matrix} \mathbf x[k+1]&=& e^{{\mathbf A}T}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{{\mathbf A}v} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\ [92] => &=&\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} ({\mathbf A}T)^k\right) \mathbf x[k] + \left(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} {\mathbf A}^{k-1} T^k\right) \mathbf B\mathbf u[k], \end{matrix} [93] => což je tvar používaný v praxi. [94] => [95] => === Aproximace === [96] => Přesná diskretizace může někdy být neproveditelná, protože zahrnuje obtížně vypočitatelnou exponenciálu matice a integrální operace. Mnohem snazší je vypočítat aproximaci diskrétního modelu založenou na malých časových krocích e^{\mathbf AT} \approx \mathbf I + \mathbf A T. Aproximací řešení pak bude: [97] => :\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + T\mathbf B \mathbf u[k] [98] => [99] => Tento postup se nazývá (dopředná) [[Eulerova metoda]]. Jinou možnou aproximací je e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I - \mathbf A T \right)^{-1}, což se nazývá zpětná Eulerova metoda nebo e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I +\frac{1}{2} \mathbf A T \right) \left( \mathbf I - \frac{1}{2} \mathbf A T \right)^{-1}, což se nazývá [[bilineární transformace|bilineární]] nebo Tustinova transformace. Každá z těchto aproximací má jiné podmínky stability. Bilineární transformace zachovává nestabilitu systému se spojitým časem. [100] => [101] => == Diskretizace spojitých vlastností == [102] => '''Diskretizace''' ve [[Statistika|statistice]] a strojovém učení se týká procesu převodu spojitých vlastností nebo proměnných na diskretizované nebo nominální vlastnosti. To může být užitečné při vytváření [[Pravděpodobnostní funkce|pravděpodobnostních funkcí]]. [103] => [104] => == Diskretizace hladkých funkcí == [105] => V teorii [[Zobecněná funkce|zobecněných funkcí]] se '''diskretizace''' [106] => objevuje jako speciální případ [[Konvoluční věta#Konvoluční věta pro temperované distribuce|konvoluční věty]] [107] => pro [[Distribuce (matematika)|temperované distribuce]] [108] => [109] => : \mathcal{F}\{f*\operatorname{III}\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \operatorname{III} [110] => : \mathcal{F}\{\alpha \cdot \operatorname{III}\}= \mathcal{F}\{\alpha\}*\operatorname{III} [111] => [112] => kde \operatorname{III} je [[Diracův hřeben]], [113] => \cdot \operatorname{III} je diskretizace, * \operatorname{III} je [114] => [[Periodická sumace|periodizace]], f je rychle klesající temperované rozdělení [115] => (například [[Diracovo delta]] \delta nebo jiná funkce s [116] => [[Nosič funkce|kompaktním nosičem]]), \alpha je [[Hladkost|hladká]], [117] => [[Distribuce (matematika)|pomalu rostoucí]] [118] => [[Funkce (matematika)|obyčejná funkce]] (například funkce, která je identicky rovna 1 [119] => nebo jiná funkce s [[Bandlimiting|omezeným pásmem]]) [120] => a \mathcal{F} je (unitární, s normální frekvencí) [[Fourierova transformace]]. [121] => Funkce \alpha, které nejsou hladké, lze převést na hladké použitím [[Vyhlazovací funkce|vyhlazení]] před diskretizací. [122] => [123] => Například diskretizace funkce, která je identicky rovna 1, dává [[posloupnost]] \langle ..,1,1,1,..\rangle která, pokud je interpretována jako koeficienty [[lineární kombinace]] [[Diracovo delta|Diracových delta funkcí]], tvoří [[Diracův hřeben]]. Pokud se navíc aplikuje [[zkracování]], dostaneme konečné posloupnosti, například \langle 1,1,1,1\rangle , které jsou diskrétní jak v čase tak ve frekvenci. [124] => [125] => == Odkazy == [126] => [127] => === Reference === [128] => {{Překlad|en|Discretization|1118225208}} [129] => [130] => === Literatura === [131] => * {{Citace monografie [132] => | jméno = Raymond [133] => | příjmení = DeCarlo [134] => | titul = Linear Systems: A State Variable Approach with Numerical Implementation [135] => | url = https://archive.org/details/linearsystemssta0000deca [136] => | vydavatel = Prentice Hall, NJ [137] => | rok = 1989 [138] => | ref = harv [139] => }} [140] => * {{Citace periodika [141] => | titul = Analytic Sciences Corporation. Technical Staff. [142] => | periodikum = Applied optimal estimation. [143] => | url = https://archive.org/details/appliedoptimales00agel [144] => | url-access = limited [145] => | rok = 1974 [146] => | vydavatel = M.I.T. Press [147] => | příjmení = Gelb [148] => | jméno = Arthur [149] => | vychází od roku = 1937- [150] => | isbn = 0-262-20027-9 [151] => | místo = Cambridge, Mass. [152] => | strany = [https://archive.org/details/appliedoptimales00agel/page/n128 121] [153] => | oclc = 960061 [154] => | ref = harv [155] => }} [156] => * {{Citace periodika [157] => | jméno = Charles [158] => | příjmení = Van Loan [159] => | titul = Computing integrals involving the matrix exponential [160] => | periodikum = IEEE Transactions on Automatic Control [161] => | ročník = 23 [162] => | číslo = 3 [163] => | strany = 395–404 [164] => | rok = 1978 [165] => | ref = harv [166] => }} [167] => * {{Citace monografie [168] => | autor = Robert Grover Brown & Patrick Y. C. Hwang [169] => | titul = Introduction to random signals and applied Kalman filtering [170] => | rok = 1997 [171] => | vydání = 2 [172] => | isbn = 978-0471128397 [173] => | ref = harv [174] => }} [175] => * {{Citace monografie [176] => | vydavatel = Saunders College Publishing [177] => | místo = Philadelphia, PA, USA [178] => | rok = 1984 [179] => | autor = Chi-Tsong Chen [180] => | titul = Linear System Theory and Design [181] => | isbn = 978-0030716911 [182] => | ref = harv [183] => }} [184] => * {{Citace periodika [185] => | autor = C. Van Loan [186] => | titul = Computing integrals involving the matrix exponential [187] => | url = http://ecommons.cornell.edu/bitstream/1813/7095/1/77-298.pdf [188] => | doi = 10.1109/TAC.1978.1101743 [189] => | periodikum = IEEE Transactions on Automatic Control [190] => | ročník = 23 [191] => | číslo = 3 [192] => | strany = 395–404 [193] => | datum = Jun 1978 [194] => | hdl = 1813/7095 [195] => | hdl-access = free [196] => | ref = harv [197] => }} [198] => * {{Citace monografie [199] => | autor = R.H. Middleton & G.C. Goodwin [200] => | titul = Digital control and estimation: a unified approach [201] => | rok = 1990 [202] => | strany = 33f [203] => | isbn = 978-0132116657 [204] => | ref = harv [205] => }} [206] => [207] => === Související články === [208] => * [[Diskrétní simulace]] [209] => * [[Diskrétní prostor]] [210] => * [[Diskrétní čas a spojitý čas]] [211] => * [[Metoda konečných diferencí]] [212] => * [[Metoda konečných objemů pro neustálený tok]] [213] => * [[Vyhlazování]] [214] => * [[Stochastická simulace]] [215] => * [[Počet na časové škále]] [216] => [217] => === Externí odkazy === [218] => * {{Commonscat}} [219] => {{Autoritní data}} [220] => [221] => [[Kategorie:Numerická matematika]] [222] => [[Kategorie:Aplikovaná matematika]] [223] => [[Kategorie:Funkcionální analýza]] [224] => [[Kategorie:Teorie řízení]] [] => )
good wiki

Diskretizace

metodou konečných prvků. Diskretizace je v aplikované matematice proces převodu spojitých funkcí, modelů, proměnných, a rovnic na diskrétní protějšky.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'Diskretizační chyba','extrapolace nultého řádu','Distribuce (matematika)','Koncepční model','Diracův hřeben','Diracovo delta','Bílý šum','zanedbatelný','Vyhlazování','Eulerova-Maruyamova metoda','Hladkost','Statistika'

Statistika

Statistika je vědní obor zabývající se sběrem, organizací, analýzou, interpretací a prezentací dat.

zanedbatelný