Array ( [0] => 15492855 [id] => 15492855 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Elipsoid [uri] => Elipsoid [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{Neověřeno}} [1] => [[Soubor:ellipsoid_3d.jpg|náhled|Elipsoid]] [2] => '''Elipsoid''' je omezená [[kvadrika|kvadratická plocha]]. Někdy se chápe jako [[prostor (geometrie)|prostorové]] [[Geometrický útvar|těleso]] tvořené [[množina|množinou]] všech [[bod]]ů, jejichž [[poloha]] vůči zadanému bodu (středu) splňuje podmínky dané následující [[nerovnice|nerovnicí]]. Pokud bychom znak ≤ nahradili znakem =, [[rovnice|rovnici]] by splňovaly právě body na [[povrch]]u elipsoidu. [3] => [4] => [5] => {x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2} \leq 1 [6] => [7] => [8] => kde ''a'', ''b'' a ''c'' jsou [[konstanta|konstantní]] [[kladné číslo|kladná]] [[reálné číslo|reálná]] [[číslo|čísla]], určující délky [[poloosa|poloos]] ve směru jednotlivých os. Uvedená [[definice]] předpokládá, že střed elipsoidu leží v [[počátek soustavy souřadnic|počátku]] [[soustava souřadnic|soustavy souřadnic]] a že [[osa|osy]] elipsoidu jsou totožné s osami soustavy souřadnic. Pokud tomu tak není, je třeba nerovnici rozšířit o popis [[posunutí (geometrie)|posunutí]] a [[rotace (geometrie)|otočení]] elipsoidu v [[prostor (geometrie)|prostoru]]. [9] => [10] => [[rovinný řez|Rovinnými řezy]] elipsoidu podél jednotlivých souřadnicových os jsou [[elipsa|elipsy]]. Poloosy jednotlivých elips odpovídají poloosám elipsoidu. [11] => [12] => == Klasifikace elipsoidů == [13] => Elipsoid, jehož dvě poloosy jsou shodné, se nazývá '''rotační elipsoid''' nebo také '''sferoid'''. Rotační elipsoid lze také chápat jako [[Geometrický útvar|těleso]] vzniklé [[rotace (geometrie)|rotací]] [[elipsa|elipsy]] kolem jedné z jejich os. Při rotaci kolem hlavní osy se jedná o rotační elipsoid protáhlý, při rotaci elipsy kolem vedlejší osy jde o zploštělý rotační elipsoid. [14] => [15] => Elipsoid, který má shodné všechny tři poloosy, je [[koule]]. [16] => [17] => Budeme-li předpokládat, že a ≥ b ≥ c, potom: [18] => * jestliže a > b > c, jde o '''obecný''' ('''trojosý''') elipsoid [19] => * jestliže a > b = c, jde o '''protáhlý''' (doutníkovitý) sferoid [20] => * jestliže a = b > c, jde o '''zploštělý''' (diskovitý) sferoid [21] => * jestliže a = b = c, jde o '''[[koule|kouli]]''' [22] => [23] => [24] => Soubor:elipsoid_trojosy321.png|Trojosý elipsoid s poměrem poloos 3:2:1. [25] => Soubor:elipsoid_protahly.png|Protáhlý rotační elipsoid. [26] => Soubor:elipsoid_zplostely.png|Zploštělý rotační elipsoid. [27] => [28] => [29] => == Vlastnosti == [30] => Elipsoid je jediná omezená kvadrika. Rovinným řezem je elipsa, jednobodová nebo [[prázdná množina]]. [31] => [32] => V projektivní geometrii je ekvivalentní eliptickému paraboloidu a dvojdílnému hyperboloidu. [33] => [34] => [[Objem]] libovolného elipsoidu je roven [35] => :\frac{4}{3}\pi abc\,\!, [36] => kde ''a, b, c'' jsou délky poloos. [37] => [38] => === Speciální případy === [39] => Objem protáhlého rotačního elipsoidu je [40] => :V = \frac{4}{3}\pi ab^2, [41] => kde a>b. [42] => [43] => Objem zploštělého rotačního elipsoidu je [44] => :V = \frac{4}{3}\pi a^2 b, [45] => kde a>b. [46] => [47] => [[Povrch]] elipsoidu se počítá podstatně složitěji. S použitím [[číselná výstřednost|číselné výstřednosti]] [[elipsa|elipsy]] \varepsilon =\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} lze [[povrch]] protáhlého rotačního elipsoidu zapsat ve tvaru [48] => :P = 2\pi \left(b^2 + a b \frac{\operatorname{arcsin}\varepsilon}{\varepsilon}\right) [49] => Pro zploštělý elipsoid pak dostaneme výraz [50] => :P = 2\pi \left(a^2 + {b^2} \frac{\operatorname{artanh}\varepsilon}{\varepsilon}\right) = 2\pi \left(a^2 + \frac{b^2}{2\varepsilon} \ln\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right) [51] => [52] => Povrch trojosého elipsoidu se počítá složitěji pomocí eliptických integrálů. [53] => [54] => == Zobecněný hyperelipsoid == [55] => Typicky pracujeme s elipsoidem v trojrozměrném prostoru. Uvedenou definici lze zobecnit pro ''n''-rozměrný prostor následovně (i nadále platí, že osy elipsoidu jsou totožné s osami soustavy souřadnic): [56] => [57] => [58] => \sum_{i=1}^n {x_i^2 \over r_i^2} \leq 1 [59] => [60] => [61] => kde r_i je [[vektor]] poloos v jednotlivých rozměrech. Pro n>3 jde o abstraktní matematické těleso, které je obtížné [[vizualizace|vizualizovat]]. Pro n=2 jde o [[elipsa|elipsu]] v [[rovina|rovině]]. Pro n=1 jde o [[úsečka|úsečku]] na [[přímka|přímce]]. [62] => [63] => == Referenční elipsoid == [64] => {{Viz též|Referenční elipsoid}} [65] => [66] => == Polární souřadnice == [67] => {{Upravit část}} [68] => [69] => Klasické [[kartézská soustava souřadnic|kartézské]] [[Soustava souřadnic|souřadnice]] neposkytují dostatečně intuitivní představu o poloze bodu na povrchu elipsoidu. Pokud víme, že se pohybujeme po povrchu, stačí nám totiž pouhé dvě souřadnice místo tří. Při využití elipsoidu jako referenčního tělesa pro povrch planety se proto obvykle používají '''polární''' (úhlové) souřadnice: [[zeměpisná šířka]] a [[zeměpisná délka]]. V mnoha případech nám totiž stačí pracovat s body na povrchu referenčního elipsoidu a odchylky způsobené [[nadmořská výška|nadmořskou výškou]] nebo lokální odchylkou gravitačního potenciálu zanedbáváme. Pokud bychom je nechtěli zanedbávat, museli bychom soustavu polárních souřadnic doplnit o třetí rozměr, výšku. [70] => [71] => * '''Délka''' bodu A je úhel mezi [[rovina|rovinou]] xz (tj. rovinou obsahující osy x a z) a rovinou obsahující osu z a bod A. Označme tuto rovinu \delta. Vzhledem k tomu, že délka může být kladná i záporná, známe nejen úhel, ale i směr rotace od výchozí roviny (úhel je orientovaný) a máme navíc informaci o polorovině, na které se daný bod nachází (rovina \delta je rozdělena na poloroviny osou z). Na referenčním elipsoidu Země se délka určuje v rozsahu -180° až +180° (zápornou délku mají body, které mají zápornou kartézskou souřadnici y); u jiných těles se obvykle používá rozsah 0° až 360°. [72] => * '''Šířka''' je úhel mezi rovinou xy a přímkou r, která je [[podmnožina|podmnožinou]] roviny \delta a prochází středem elipsoidu i bodem A. Šířka se určuje v rozsahu -90° až +90° (zápornou šířku mají body, které mají zápornou kartézskou souřadnici z). [73] => * '''Výška''' je (případná) vzdálenost bodu A od povrchu elipsoidu a jde o reálné číslo, které je zdola omezeno hodnotou -a ([[opačné číslo]] k největší z poloos elipsoidu), shora omezené není. Jde-li o [[referenční elipsoid]] planety, udává se výška obvykle v [[metr]]ech, popř. ve [[stopa (jednotka délky)|stopách]]. [74] => * '''Šířka geodetická''' je úhel mezi rovinou xy (tj. rovinou rovníku) a přímkou h. Přímka h je normálou k tečné rovině elipsoidu v daném bodě a obecně nemusí procházet středem elipsoidu. Pro počty s geodetickou šířkou musí platit poněkud jiné definice, než jaké jsou použity v následujících příkladech. Proto pozor, o kterou šířku se jedná. Viz např. standard [[WGS 84]]. [75] => [76] => === Převod polárních souřadnic na kartézské === [77] => Poznámka: Při nasazení níže uvedeného postupu v praxi je třeba si ověřit, zda software, s jehož pomocí počítáme funkci [[tangens]], očekává úhel ve [[stupeň (úhel)|stupních]], nebo v [[radián]]ech. Stupně lze přepočítat na radiány vzorcem radi\acute{a}ny = stupn\check{e} {\pi \over 180}. [78] => [79] => Poznámka: Použití funkce tg nelze doporučit, v blízkosti singularity vede k chybám. Místo toho lze vystačit s funkcemi sin, cos a návod by bylo vhodné upravit. [80] => [81] => # Mějme bod A daný délkou \lambda, šířkou \phi a výškou v. [82] => # y = x \mbox{tg } \lambda\,\!. Zvláštním případem je \| \lambda \| = 90, kdy [[tangens]] není definován. Tehdy platí x=0\,\!. [83] => # z = (\sqrt {x^2+y^2}) \mbox{tg } \phi, kde \sqrt {x^2 + y^2} je poloměr \phi-té [[rovnoběžka|rovnoběžky]]. Zvláštním případem je \| \phi \| = 90, kdy tangens není definován. Tehdy platí x=y=0\,\!. [84] => # Nyní již můžeme popsat [[polopřímka|polopřímku]] r, která vychází ze středu elipsoidu a prochází bodem A. Výše uvedené vztahy mezi x, y a z vycházejí z úhlů definujících polopřímku a platí proto pro každý její bod. Na polopřímce tedy leží i bod A_1=[1;\mbox{tg }\lambda;(\sqrt{1+(\mbox{tg }\lambda)^2})\mbox{tg }\phi]. [85] => # Potřebujeme zjistit, v jaké vzdálenosti od středu elipsoidu leží bod, ve kterém polopřímka r protíná jeho povrch. Nejdříve tedy musíme zjistit souřadnice tohoto [[průsečík]]u. Hledáme takový [[skalár]] k_Z, že bod A_Z = k_Z \cdot A_1 leží na povrchu elipsoidu, tj. splňuje rovnici {{X_Z^2+y_Z^2}\over{a^2}}+{{Z_Z^2}\over{b^2}}=1. [86] => # Dosazením do této rovnice získáme k_Z = \sqrt{{A^2b^2}\over{b^2x_1^2+b^2y_1^2+a^2z_1^2}}. [87] => # Vzdálenost bodu A_Z od středu elipsoidu \|A_Z\|=\sqrt{x_Z^2+y_Z^2+z_Z^2}. [88] => # Nyní hledáme takové k, že pro bod A, jehož souřadnice hledáme, platí A=k\cdot A_1. k a k_Z jsou ve stejném poměru, v jakém jsou vzdálenosti A a A_Z od středu, tedy k = k_Z {{\|A_Z\|+v} \over {\|A_Z\|}}. Souřadnice bodu A pak už triviálně získáme pomocí k a souřadnic A_1. [89] => [90] => ==== Příklad ==== [91] => Mějme bod určený polárními souřadnicemi [92] => [93] => * \phi = 50° s. š. = +50° = 0.872664626 radiánů [94] => * \lambda = 14° 30' v. d. = +14,5° = 0.253072741 radiánů [95] => * v = 250 m [96] => [97] => Předpokládejme, že polární souřadnice jsou vztaženy k povrchu referenčního elipsoidu [[World Geodetic System|WGS-84]], tedy [98] => [99] => * a = 6 378 137 m [100] => * b = 6 356 752,3 m [101] => [102] => Potom [103] => [104] => * A_1 = [1; 0.258618; 1.230963] [105] => * k_Z = 3 961 374 [106] => * A_Z = [3961374; 1024481; 4876303] [107] => * \|A_Z\| = 6365562 [108] => * {{\|A_Z\|+v} \over {\|A_Z\|}} = 1.000039 [109] => * A = [3961529; 1024521; 4876495] [110] => [111] => Tedy [112] => [113] => * x = 3 961 529 m [114] => * y = 1 024 521 m [115] => * z = 4 876 495 m [116] => [117] => === Převod kartézských souřadnic na polární === [118] => Poznámka: Použití funkce arctg je chybné, mj. nerespektuje znaménko výsledku. Návod by bylo vhodné upravit, ale bude složitější. Inspirací může být implementace funkce atan2 systému Matlab. [119] => [120] => Předpokládejme, že pracujeme se zploštělým sferoidem, např. s referenčním elipsoidem Země. Pro obecný elipsoid lze postup zobecnit. [121] => [122] => # Mějme bod A a jeho kartézské souřadnice x, y a z. [123] => # Polopřímku r, která vychází ze středu elipsoidu a prochází bodem A, lze parametricky vyjádřit jako [0;0;0]+k \cdot A, kde k>0. [124] => # Protože bod A může mít nenulovou výšku a nemusí tedy ležet přímo na povrchu elipsoidu, potřebujeme najít bod A_Z, který leží na [[průnik]]u polopřímky r s povrchem elipsoidu. [125] => # Tento bod musí současně splňovat rovnici pro polopřímku i rovnici pro povrch elipsoidu {{X_Z^2+y_Z^2} \over {a^2}}+{{Z_Z^2} \over {b^2}}=1. [126] => # Vyjádříme-li souřadnice A_Z pomocí k_Z a souřadnic A, dostaneme {{K_Z^2x^2+k_Z^2y^2} \over {a^2}}+{{K_Z^2z^2} \over {b^2}}=1. [127] => # {k_Z^2}={{A^2b^2}\over{b^2x^2+b^2y^2+a^2z^2}} [128] => # k_Z=\pm\sqrt{{A^2b^2}\over{b^2x^2+b^2y^2+a^2z^2}} [129] => # Dostaneme 2 koeficienty, jeden kladný a jeden záporný, protože přímka protne povrch elipsoidu na dvou místech. Jak už ale bylo zmíněno, zajímá nás pouze polopřímka vedoucí ze středu elipsoidu směrem k bodu A, využijeme tedy pouze kladný z obou koeficientů. [130] => # S pomocí koeficientu k dostaneme souřadnice bodu A_Z=k_Z\cdot[x;y;z]. [131] => # Délka vektoru z bodu A_Z do bodu A odpovídá hledané nadmořské výšce: v=\pm\sqrt{(x-x_Z)^2+(y-y_Z)^2+(z-z_Z)^2}. Směr vektoru nám prozradí, zda má být výška kladná, nebo záporná. Totéž lze vyčíst i z koeficientu k - pokud je větší než 1, leží bod A_Z na polopřímce r až za bodem A, a výška bodu A je tedy záporná. V opačném případě je výška kladná. [132] => # Délka \lambda=\mbox{tg}^{-1}{y\over{x}} [133] => # Šířka \phi=\mbox{tg }^{-1}{z\over\sqrt{x^2+y^2}} [134] => [135] => ==== Příklad ==== [136] => Mějme bod A určený kartézskými souřadnicemi [137] => [138] => * x = 1 113 547 m [139] => * y = -4 823 300 m [140] => * z = 4 008 571 m [141] => [142] => Hledáme polární souřadnice tohoto bodu vztažené k povrchu referenčního elipsoidu WGS-84, tedy [143] => [144] => * a = 6 378 137 m [145] => * b = 6 356 752,3 m [146] => [147] => Potom [148] => [149] => * \phi = 39 [150] => * \lambda = -77 [151] => * k_Z = 0,999994 [152] => * A_Z = [1113540; -4823270; 4008546] [153] => * \|A_Z\| = 6365562 [154] => * A-A_Z = [6,992792; -30,2891; 25,17282] [155] => * \|A-A_Z\| = 40 [156] => [157] => Tedy [158] => [159] => * φ = 39° s. š. [160] => * λ = 77° z. d. [161] => * v = 40 m [162] => [163] => (Pohledem na mapu pak zjistíme, že tento bod leží na předměstí [[Washington, D.C.|Washingtonu]].) [164] => [165] => == Vzdálenost dvou bodů na povrchu elipsoidu == [166] => {{Upravit část}} [167] => Vzdálenost dvou bodů na povrchu (nebo v blízkosti povrchu) elipsoidu nás zajímá zejména u referenčního elipsoidu, chceme-li určit vzdálenost dvou bodů na povrchu Země či jiné planety. [168] => [169] => === Po přímce === [170] => Nejkratší vzdáleností dvou bodů v prostoru je délka [[úsečka|úsečky]], kterou tyto body vymezují, tedy vzdálenost měřená na [[přímka|přímce]]. Pro praktické užití na referenčním elipsoidu má ovšem takto zjištěná vzdálenost zásadní nevýhodu, totiž že spojnice obou bodů typicky prochází pod povrchem elipsoidu a neodpovídá tedy vzdálenosti, kterou musí při přesunu mezi oběma body urazit např. letadlo. Pouze u malých vzdáleností je tento rozdíl zanedbatelný. [171] => [172] => Vzdálenost bodů A a B lze přímo vypočítat z jejich kartézských souřadnic, stačí tedy převést polární souřadnice na kartézské podle výše uvedeného postupu. [173] => [174] => d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} [175] => [176] => ==== Příklad ==== [177] => Mějme body A (Praha) a B (Washington) jako ve výše uvedených příkladech, tedy [178] => [179] => * A = [3961529; 1024521; 4876495] [180] => * B = [1113547; -4823300; 4008571] [181] => [182] => Potom [183] => [184] => * (B-A) = [-2847982,876; -5847821,155; -867924,0585] [185] => * d = 6 562 112 m [186] => [187] => === Po elipse === [188] => Vzdálenost vedená po povrchu elipsoidu by byla délka úseku [[elipsa|elipsy]], která prochází oběma body a má střed shodný se středem elipsoidu. Tato elipsa je průnikem povrchu elipsoidu a roviny definované středem elipsoidu a oběma body, jejichž vzájemnou vzdálenost měříme. Problém je, že neznáme poloosy této elipsy; víme pouze, že leží někde mezi největší a nejmenší poloosou elipsoidu. Můžeme však aspoň provést horní a dolní odhad vzdálenosti, pokud budeme místo elipsy postupně uvažovat [[kružnice]] s poloměry odpovídajícími největší a nejmenší poloose elipsoidu. Tento postup navíc nezohledňuje případnou výšku bodů A a B nad povrchem elipsoidu. [189] => [190] => Při cestování po dráze dané elipsou se středem uprostřed elipsoidu se soustavně mění [[azimut]], tedy úhel mezi směrem pohybu a severem! Přesun z bodu A do bodu B lze také provést po [[loxodroma|loxodromě]] (anglicky ''rhumb line''), tedy čáře protínající všechny [[poledník]]y pod stejným úhlem; taková trasa však bude delší než trasa po elipse. I tento rozdíl je pro blízké body zanedbatelný. [191] => [192] => * Pro změření úseku kružnice mezi body A a B potřebujeme znát úhel \gamma mezi přímkami a a b, přičemž přímka a prochází bodem A, přímka b prochází bodem B a obě procházejí středem kružnice. [193] => * Velikost úhlu \gamma dokážeme určit pomocí [[Goniometrie|goniometrických funkcí]], pokud budeme znát polohu bodu K, ve kterém přímka c, spojující body A a B, protíná kolmici na ni vedenou ze středu elipsoidu S. [194] => ** Přímku c lze popsat jako C=A+k\cdot (B-A), kde k je [[reálné číslo]] a (B-A) je vektor vedoucí z bodu A do bodu B. Pro každý bod C přímky c existuje [[skalár]] k takový, že uvedená rovnice platí. Náš bod K má ležet na přímce c, budeme tedy hledat jemu odpovídající k. [195] => ** Přímku v, která prochází body S a K, lze popsat jako V=S+l\cdot (K-S). Protože bod S je střed elipsoidu a [[počátek soustavy souřadnic]], platí S=[0;0;0], a tedy V=l\cdot K. [196] => ** Protože dále v má být [[kolmice|kolmá]] na c, musí platit, že skalární součin jejich [[směrový vektor přímky|směrových vektorů]] je roven nule. Naším směrovým vektorem pro přímku c je (B-A), pro přímku v je to (zatím neznámé) K, tedy x_{(B-A)}x_K+y_{(B-A)}y_K+z_{(B-A)}z_K=0\,\!. [197] => ** Dosadíme-li do právě uvedené rovnice vyjádření bodu K jako prvku přímky c, dostaneme rovnici o jedné neznámé k: x_{(B-A)}(x_A+kx_{(B-A)})+y_{(B-A)}(y_A+ky_{(B-A)})+z_{(B-A)}(z_A+kz_{(B-A)})=0\,\!. [198] => ** Úpravou rovnice dostaneme k=-{{X_A(x_B-x_A)+y_A(y_B-y_A)+z_A(z_B-z_A)}\over{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}}. [199] => ** Získané k dosadíme do rovnice K=A+k\cdot (B-A) a dostaneme souřadnice bodu K. [200] => * Změříme úsečky AK, KB a KS. Např. \|AK\|=\sqrt{(x_K-x_A)^2+(y_K-y_A)^2+(z_K-z_A)^2}. [201] => * Vypočítáme úhel \gamma=\mbox{tg}^{-1}{{\|AK\|}\over{\|KS\|}}+\mbox{tg}^{-1}{{\|KB\|}\over{\|KS\|}}. [202] => * Jestliže jsme úhel \gamma dostali ve stupních, převedeme ho na radiány: radi\acute{a}ny = stupn\check{e} {\pi \over 180}. [203] => * Délku úseku kružnice vypočítáme jako d=\gamma r\,\!, kde r je poloměr kružnice. [204] => [205] => ==== Příklad ==== [206] => Mějme body A (Praha) a B (Washington) jako ve výše uvedených příkladech, tedy [207] => [208] => * A = [3961529; 1024521; 4876495] [209] => * B = [1113547; -4823300; 4008571] [210] => [211] => a poloosy referenčního elipsoidu [212] => [213] => * a = 6 378 137 m [214] => * b = 6 356 752,3 m [215] => [216] => Potom [217] => [218] => * (B-A) = [-2847982,876; -5847821,155; -867924,0585] [219] => * k = 0,499427705 [220] => * K = [2539167,869; -1896042,727; 4443029,462] [221] => * |AK| = 3 277 300,419 m [222] => * |KB| = 3 284 811,352 m [223] => * |SK| = 5 457 367,707 m [224] => * γ = 1,082625728 rad = 62,03° [225] => [226] => Pro kružnice s maximálním (a) a minimálním (b) poloměrem pak získáme horní a dolní odhad vzdálenosti po elipse: [227] => [228] => * da = 6 905 135 m [229] => * db = 6 881 984 m [230] => [231] => Jak vidíme, chyba způsobená tím, že se pohybujeme po kružnici místo po elipse, je relativně malá (23 km), zatímco rozdíl mezi vzdáleností po kružnici a vzdáleností po přímce je poměrně značný (320, resp. 343 km). [232] => [233] => == Odkazy == [234] => [235] => === Související články === [236] => * [[Sféroid]] [237] => * [[Geoid]] [238] => * [[Geometrický útvar]] [239] => * [[Kvadrika]] (kvadratická plocha) [240] => * [[Koule]] [241] => * [[Elipsa]] [242] => [243] => === Externí odkazy === [244] => * {{Commonscat}} [245] => {{Autoritní data}} [246] => [247] => {{Portály|Matematika}} [248] => [249] => [[Kategorie:Oblá tělesa]] [250] => [[Kategorie:Navigace]] [251] => [[Kategorie:Kartografie]] [252] => [[Kategorie:Plochy]] [] => )
good wiki

Elipsoid

Elipsoid Elipsoid je omezená kvadratická plocha. Někdy se chápe jako prostorové těleso tvořené množinou všech bodů, jejichž poloha vůči zadanému bodu (středu) splňuje podmínky dané následující nerovnicí.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'elipsa','Geometrický útvar','počátek soustavy souřadnic','rotace (geometrie)','úsečka','tangens','přímka','povrch','prostor (geometrie)','reálné číslo','koule','skalár'

Elipsa

Koule

Povrch

Přímka

Skalár

Tangens

Úsečka