Array ( [0] => 15482355 [id] => 15482355 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Faktoriál [uri] => Faktoriál [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => V [[matematika|matematice]] je '''faktoriál''' čísla ''n'' (značeno pomocí [[vykřičník]]u: '''''n''!''') číslo, rovné součinu všech [[kladné číslo|kladných]] [[celé číslo|celých čísel]] menších nebo rovných ''n'', pokud je ''n'' kladné, a rovno 1 pro ''n = 0''. Značení ''n''! vyslovujeme jako „''n'' faktoriál“. Toto značení zavedl [[Christian Kramp]] v roce [[1808]]. Faktoriál ''n'' je roven počtu [[permutace|permutací]] ''n''-prvkové množiny [1] => [2] => == Definice == [3] => Faktoriál je formálně definován takto: [4] => :n! = 1 \cdot 2 \cdot \, \dotsb \, \cdot n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n > 0 [5] => [6] => {|class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em" cellspacing="0" [7] => ! n [8] => ! n! [9] => |- [10] => | 0 || 1 [11] => |- [12] => | 1 || 1 [13] => |- [14] => | 2 || 2 [15] => |- [16] => | 3 || 6 [17] => |- [18] => | 4 ||24 [19] => |- [20] => | 5 || 120 [21] => |- [22] => | 6 || 720 [23] => |- [24] => | 7 || 5 040 [25] => |- [26] => | 8 || 40 320 [27] => |- [28] => | 9 || 362 880 [29] => |- [30] => | 10 || 3 628 800 [31] => |- [32] => | 15 || 1 307 674 368 000 [33] => |- [34] => | 20 || 2 432 902 008 176 640 000 [35] => |- [36] => | 25 || 15 511 210 043 330 985 984 000 000 [37] => |- [38] => | 50 || 3,041 409 32…×1064 [39] => |- [40] => | 70 || 1,197 857 17…×[[googol|10100]] [41] => |- [42] => | 100 || 9,3326215444×10157 [43] => |- [44] => | 171 || 1,2410180702×10309 [45] => |- [46] => | 450 || 1,733 368 73…×101 000 [47] => |- [48] => |1 000 [49] => | 4,0238726008×102,567 [50] => |- [51] => | 3 249 || 6,412 337 68…×1010 000 [52] => |- [53] => | 25 206 || 1,205 703 438…×10100 000 [54] => |- [55] => | 47 176 || 8,448 573 149 5…×10200 001 [56] => |- [57] => | 100 000 || 2,824 229 407 9…×10456 573 [58] => |- [59] => | 200 000 || 1,420 225 345 47…×10973 350 [60] => |- [61] => |205 023|| 2.5038989317×101,000,004 [62] => |- [63] => | 300 000 || 1,477 391 531 738…×101 512 851 [64] => |- [65] => | 1 000 000 || 8,263 931 688 3…×105 565 708 [66] => |- [67] => | 1,0248383838×1098 || [[googolplex|101,0000000000×10100]] [68] => |- [69] => | [[googol|1×10100]] || 109,9565705518×10101 [70] => |- [71] => | 1,7976931349×10308 || 105,5336665775×10310 [72] => |} [73] => [74] => Například: [75] => :5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 [76] => [77] => Pro případ prázdného součinu platí, že [78] => :0! = 1 [79] => [80] => === Rekurzivní výpočet === [81] => Je možné faktoriál definovat rekurzivně takto: [82] => [83] => : (n+1)! = (n+1) \cdot n! \ [84] => [85] => === Zobecnění pro komplexní čísla === [86] => Zobecněním faktoriálu pro obor [[komplexní číslo|komplexních čísel]] je [[gama funkce]], používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve [[statistika|statistice]]: [87] => :z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt [88] => [89] => Ačkoliv uvedený [[integrál]] konverguje pouze pro \operatorname{Re}\, z > -1, lze zobecněný faktoriál [[holomorfní rozšíření|holomorfně rozšířit]] na celou [[komplexní rovina|komplexní rovinu]] kromě celých záporných čísel (−1, −2, …). [90] => [91] => Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná:{{OEIS|A000142}} [92] => :1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, … [93] => [94] => == Využití == [95] => Faktoriály se hojně vyskytují v [[kombinatorika|kombinatorice]]. Faktoriál čísla ''n'' udává počet [[permutace|permutací]] množiny ''n'' prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit ''n'' různých objektů. [96] => [97] => Pomocí faktoriálů lze také spočítat [[kombinační číslo]]: [98] => :{n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!} [99] => [100] => == Vlastnosti == [101] => Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká ''n'' lze vypočítat [[Stirlingův vzorec|Stirlingovým vzorcem]]: [102] => [103] => :n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n [104] => [105] => == Dvojitý faktoriál, multifaktoriál == [106] => Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také '''dvojitý faktoriál''', značený ''n''!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako [107] => :n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right. [108] => [109] => Například 8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384, nebo 9!! = 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 945. [110] => [111] => Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná:{{OEIS|A006882}} [112] => :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, … [113] => [114] => I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např. [115] => :\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n} [116] => [117] => Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) '''multifaktoriály''' ''n''!!!, ''n''!!!! atd. (obecně ''n''!(''k'')). [118] => [119] => == Výpočet v informatice == [120] => [[Rekurze|Rekurzivní]] definice je často užívána i v [[programování]], protože vede na jednoduchý zápis [[Algoritmus|algoritmu]] využívající [[Rekurze (programování)|rekurzivní volání]] [[Podprogram|funkce]]. Takový výpočet však je z hlediska náročnosti na systémové prostředky (velikost [[Zásobník (datová struktura)|zásobníku]]) velmi nevhodný (takový [[počítačový program]] lze použít jen pro malá čísla, protože obvykle dojde paměť pro zásobník). Proto je vhodnější místo rekurze použít [[Řídicí struktura#Cyklus|cyklus]]. [121] => [122] => == Odkazy == [123] => === Reference === [124] => [125] => [126] => === Související články === [127] => * [[Taylorova řada]] [128] => [129] => === Externí odkazy === [130] => * {{Commonscat}} [131] => * [http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html Faktoriál v encyklopedii MathWorld] [132] => * [http://www.elektro-energetika.cz/new/calculations/faktorial.php Online výpočet faktoriálu] až 40000! na všechna platná místa [133] => {{Autoritní data}} [134] => [135] => {{Portály|Matematika}} [136] => [137] => [[Kategorie:Matematické funkce]] [138] => [[Kategorie:Kombinatorika]] [139] => [[Kategorie:Teorie čísel]] [140] => [[Kategorie:Unární operátory]] [] => )
good wiki

Faktoriál

V matematice je faktoriál čísla n (značeno pomocí vykřičníku: n. ) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n, pokud je n kladné, a rovno 1 pro n = 0.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'permutace','googol','matematika','Kategorie:Unární operátory','Kategorie:Kombinatorika','Taylorova řada','počítačový program','Podprogram','Algoritmus','Rekurze','vykřičník','kladné číslo'

Algoritmus

Googol

Kategorie:Kombinatorika

Matematika

Permutace

Podprogram

Rekurze

Vykřičník

Vykřičník je interpunkční znaménko používané v písemném jazyce.