Array ( [0] => 14687232 [id] => 14687232 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Kmitání [uri] => Kmitání [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => Kmitání je fyzikální jev, který se vyskytuje v různých oborech vědy, například v mechanice, optice, elektronice a akustice. Je to periodický pohyb objektu okolo své rovnovážné polohy. V článku jsou popsány základní pojmy související s kmitáním, jako je amplituda, frekvence a periode. Dále jsou rozebrány různé druhy kmitání, například harmonické, nerovnoměrné, aperiční a tlumené kmitání. V textu jsou také uvedeny příklady každého druhu kmitání a jejich využití v praxi. Nakonec jsou popsány matematické metody a rovnice, které se používají k popisu kmitání. [oai] => Kmitání je fyzikální jev, který se vyskytuje v různých oborech vědy, například v mechanice, optice, elektronice a akustice. Je to periodický pohyb objektu okolo své rovnovážné polohy. V článku jsou popsány základní pojmy související s kmitáním, jako je amplituda, frekvence a periode. Dále jsou rozebrány různé druhy kmitání, například harmonické, nerovnoměrné, aperiční a tlumené kmitání. V textu jsou také uvedeny příklady každého druhu kmitání a jejich využití v praxi. Nakonec jsou popsány matematické metody a rovnice, které se používají k popisu kmitání. [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{neověřeno}} [1] => [[Soubor:Simple harmonic oscillator.gif|náhled|Kmitání [[břemeno|závaží]] na [[pružina|pružině]]]] [2] => '''Kmitání''' (též '''oscilace''' nebo '''kmitavý děj''') je změna, typicky v [[čas]]e, nějaké [[veličina|veličiny]] vykazující opakování nebo tendenci k němu. [3] => [4] => Kmitající systém se často nazývá [[oscilátor]]. [5] => [6] => Dochází-li k přenosu kmitání prostorem, hovoří se o [[vlnění]] (např. [[elektromagnetické vlnění]]). [7] => [8] => == Výskyt kmitání == [9] => Kmitání se vyskytuje v různých oblastech vědy. [10] => [11] => Pravděpodobně nejznámější je '''mechanické kmitání''' (též '''kmitavý pohyb''', '''oscilační pohyb''' nebo '''vibrace'''), což je takový [[mechanický pohyb]] [[hmotný bod|hmotného bodu]] (popř. [[těleso|tělesa]]), při kterém je tento hmotný bod vázán na určitou [[rovnovážná poloha|rovnovážnou polohu]]. Hmotný bod se při svém pohybu vzdaluje od této rovnovážné polohy pouze do určité konečné [[vzdálenost]]i. Příkladem kmitavého pohybu je pohyb [[kyvadlo|kyvadla]], který je označován jako '''kývání'''. [12] => Kmitající veličinou nemusí být pouze [[poloha tělesa]], ale např. [[hustota]] látky, [[tlak]] (hovoří se o '''pulzaci''') nebo jiná [[mechanika|mechanická]] veličina. [13] => [14] => Kmitání se také často vyskytuje u [[elektrický obvod|elektrických obvodů]] (viz např. [[#Elektronický oscilátor|elektronický oscilátor]]). Kombinace elektrických a mechanických kmitů se využívá v [[mikrofon]]u. [15] => [16] => S kmitáním se lze setkat také v [[optika|optice]] nebo [[kvantová fyzika|kvantové fyzice]]. [17] => [18] => Mimo [[fyzika|fyziku]] se lze s kmitáním setkat také při studiu [[klimatologie|klimatických změn]], v [[chemie|chemii]], v [[biologie|biologických]] nebo [[sociologie|sociálních]] systémech jako je například [[hospodářský cyklus]]. [19] => [20] => == Základní vlastnosti kmitání == [21] => Základní vlastnosti a terminologie kmitavého děje lze demonstrovat na příkladu mechanického kmitavého pohybu. [22] => ;Kmit, kyv [23] => :Kmitající [[hmotný bod]] ([[těleso]]) vykoná jeden '''kmit''', pokud projde celou [[dráha (fyzika)|dráhu]] a vrátí se do své původní polohy při stejné orientaci pohybu. Polovina kmitu, např. přechod z jedné krajní polohy do druhé nazýváme '''kyv'''. U obecného kmitavého děje lze za jeden kmit považovat návrat do původního [[stav systému|stavu systému]]. [24] => Např. při vychýlení mechanického oscilátoru (např. hmotný bod zavěšený na [[pružina|pružině]]) a jeho uvolnění dojde k průchodu [[rovnovážná poloha|rovnovážnou polohou]] do určité maximální [[vzdálenost]]i na opačné straně a opětovnému průchodu rovnovážnou polohou zpět do původní polohy. Tento pohyb tedy představuje jeden kmit. [25] => ;Oscilátor [26] => :Objekt, který kmitá (osciluje) nebo ve kterém probíhají kmitavé pohyby, se nazývá '''oscilátor'''. [27] => :Uvedeme-li mechanický oscilátor do pohybu úderem do hmotného bodu v rovnovážné poloze, bude se hmotný bod pohybovat z rovnovážné polohy do maximální výchylky, poté zpět do rovnovážné polohy (což však není jeden kmit i když bylo dosaženo původní polohy, neboť hmotný bod neprošel celou trajektorii svého pohybu, šlo tedy o ''kyv''), jímž projde a bude pokračovat do maximální výchylky na opačné straně, odkud se vrátí zpět do rovnovážné polohy, čímž uzavře jeden kmit. [28] => ;Čas [29] => :[[čas|Doba]], která je nezbytná k vykonání jednoho kmitu se nazývá '''[[perioda (fyzika)|perioda kmitu]]'''. [30] => Počet kmitů za [[čas]]ovou jednotku (obvykle jednu [[sekunda|sekundu]]) je označován jako '''[[frekvence|frekvence (dříve kmitočet)]]'''. [31] => ;Poloha [32] => :Okamžitá poloha hmotného bodu nebo tělesa při mechanickém kmitání, kterou zaujímá vzhledem k rovnovážné poloze, se označuje jako '''okamžitá výchylka''' (též '''[[elongace]]'''). Právě okamžitá výchylka je [[fyzikální veličina|veličinou]], která se s časem [[periodický pohyb|periodicky]] mění. U obecného kmitavého děje je okamžitou výchylkou odchylka aktuální hodnoty kmitající veličiny v daném čase od rovnovážné polohy této veličiny. [33] => [[Absolutní hodnota]] okamžité výchylky se nazývá ''velikostí okamžité výchylky''. Největší velikost okamžité výchylky se nazývá '''[[amplituda|amplituda (výkmit, rozkmit)]]'''. [34] => ;Skládání, modulace [35] => :Kmitavé pohyby lze skládat (viz např. ''[[Skládání pohybů]]''), případně lze užít [[harmonická analýza|harmonické analýzy]] k určení kmitavých pohybů, z nichž se výsledný pohyb skládá. [36] => Tyto znalosti lze potom využít např. k [[modulace|modulaci]] kmitů. [37] => [38] => == Rozdělení kmitání == [39] => Kmitající systém je obvykle popisován pomocí [[diferenciální rovnice]] nebo [[soustava diferenciálních rovnic|soustavy diferenciálních rovnic]]. Kmitání lze rozdělit na [40] => * '''lineární''' – kmitání lze popsat [[lineární diferenciální rovnice|lineární diferenciální rovnicí]] nebo soustavou lineárních diferenciálních rovnic (např. [[harmonické kmitání]]) [41] => * '''nelineární''' – kmitání nelze popsat [[lineární diferenciální rovnice|lineární diferenciální rovnicí]] nebo soustavou lineárních diferenciálních rovnic [42] => [43] => Podle počtu [[stupeň volnosti|stupňů volnosti]] se kmitající systémy dělí na systémy s ''jedním'', ''dvěma'', ''třemi'' nebo ''více stupni volnosti''. Počet [[rovnice|rovnic]] popisujících kmitání je roven počtu stupňů volnosti. [44] => [45] => Kmitání lze z [[kinematika|kinematického]] hlediska rozdělit následujícím způsobem. [46] => * '''[[Periodický děj|periodické]]''' – Periodické kmity se opakují po určitém [[čas]]ovém intervalu. Při periodickém pohybu se systém po určitém čase navrátí zpět do původního stavu. Periodické kmity lze dále rozdělit na [47] => ** '''[[Harmonický děj|harmonické]]''' – Harmonický kmit je periodický pohyb, který lze vyjádřit ve tvaru y=A\sin(\omega t+\varphi). [48] => ** '''anharmonické''' – Není-li možné vyjádřit periodický pohyb jako harmonický, nazýváme jej anharmonickým pohybem. [49] => * '''neperiodické''' ('''aperiodické''') – Pokud se nejedná o periodický pohyb, mluvíme o pohybu neperiodickém. Sem lze zařadit např. [[přímočarý pohyb]] nebo aperiodické tlumené kmity. [50] => [51] => Podle [[tlumení]] kmitů lze kmitání dělit na [52] => * '''netlumené''' – při kmitání nedochází ke ztrátě [[energie]] (nedochází k [[tlumení]] kmitavého pohybu) [53] => * '''[[tlumené kmitání|tlumené]]''' – při kmitání se část energie kmitů ztrácí (např. v důsledku [[tření]] nebo [[odpor prostředí|odporu prostředí]]), což ovlivňuje kmitání (nejčastěji postupným zmenšování [[amplituda|amplitudy]]) [54] => [55] => Působení [[vnější síla|vnější síly]] na kmitající systém se označuje jako '''buzení''' (též '''budící''' nebo '''vynucující síla'''). Buzení se rozlišuje [56] => * '''[[determinismus|deterministické]]''' – často studovanými případy deterministického buzení je '''harmonické buzení''' nebo '''periodické buzení''' [57] => * '''stochastické ([[náhoda|náhodné]])''' [58] => [59] => Podle vlivu buzení lze kmitání dělit na [60] => * '''volné''' – Volné kmitání je kmitání soustavy bez působení vnějších sil, tzn. soustava je vychýlena z rovnováhy, uvolněna a ponechána v pohybu bez působení buzení. Volné kmitání je popsáno [[homogenní diferenciální rovnice|homogenními diferenciálními rovnicemi]]. U lineárního kmitání jsou volné kmity [[lineární kombinace|lineární kombinací]] vlastních kmitů. [61] => * '''vlastní''' – Vlastní kmity jsou kmity soustav, na kterou nepůsobí buzení. Vlastní kmity jsou [[vlastní číslo|vlastní čísla]] získaná řešením [[diferenciální rovnice]] popisující dané kmitání. Frekvence vlastních kmitů se označuje jako '''[[vlastní frekvence]] (kmitočet)'''. [62] => * '''[[nucené kmitání|nucené (vynucené)]]''' – Kmitání je ovlivňováno buzením. [63] => [64] => == Skládání kmitů == [65] => Pro lineární kmitání platí, že probíhá-li současně několik kmitavých dějů (např. pokud [[hmotný bod]] koná několik kmitavých pohybů současně), je výsledný kmitavý pohyb určen [[součet|součtem]] (obecně [[vektorový součet|vektorovým]]) jednotlivých kmitavých dějů. Tato skutečnost je v souladu s [[princip superpozice|principem superpozice]]. Pro nelineární kmitání nemusí být výsledné kmitání součtem jednotlivých kmitání, z nichž je složeno. [66] => [67] => === Skládání lineárních kmitů === [68] => [[Soubor:skladani_linearnich_kmitu.png|náhled|Příklad skládání lineárních kmitů.]] [69] => Skládání kmitů lze demonstrovat na skládání mechanických kmitavých pohybů. [70] => [71] => Mějme např. hmotný bod, který [[harmonické kmitání|harmonicky kmitá]] ve směru [[osa|osy]] x s [[úhlová frekvence|úhlovou frekvencí]] \omega. Stejný hmotný bod však může kmitat např. podél osy y s úhlovou frekvencí \varphi. Pohyb hmotného bodu při současném kmitání podél osy x s úhlovou frekvencí \omega a podél osy y s úhlovou frekvencí \varphi bude určen [[superpozice|superpozicí]] obou samostatných pohybů. [72] => [73] => Máme-li dva kmity ležící v jedné [[přímka|přímce]], tzv. '''rovnoběžné (stejnosměrné) kmity''', leží i výsledné kmity na této přímce a výslednou výchylku dostaneme jako [[algebraický součet]] jednotlivých výchylek v daném okamžiku. [74] => [75] => Pokud leží kmity ve společné [[rovina|rovině]], leží v této rovině i výsledné kmity a výslednou výchylku získáme jako [[vektorový součet]] jednotlivých výchylek v daném okamžiku. Nejjednodušším případem skládání kmitů ležících v jedné rovině je skládání [[Ortogonalita|kolmých]] kmitů. [76] => [77] => Výsledné kmity získané složením [[harmonické kmitání|harmonických kmitů]] nemusí být harmonickými kmity. [78] => [79] => Lze dokázat, že všechny periodické kmity lze vyjádřit superpozicí (součtem) určitého (obecně až nekonečně velkého) počtu harmonických (sinusoidálních) kmitů různé [[amplituda|amplitudy]] a [[frekvence]]. K rozložení periodického kmitu na jeho harmonické složky se využívá tzv. [[harmonická analýza|harmonické analýzy]]. [80] => [81] => === Vektorové znázornění === [82] => [[Soubor:skladani_kmitu_diagram.svg|náhled|Vektorové skládání kmitů.]] [83] => Pro zobrazení skládání kmitů se s výhodou používá vektorové znázornění kmitů. [84] => [85] => Např. harmonický kmit zapsaný ve tvaru [86] => z = A\sin(\omega t+\varphi) [87] => lze považovat za [[imaginární číslo|imaginární část]] výrazu [88] => z = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t+\varphi)} [89] => tedy [90] => z = \Im\left[A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t+\varphi)}\right] [91] => Někdy se používá reálná část, tzn. [92] => z = \Re\left[A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t+\varphi)}\right] = A\cos(\omega t+\varphi) [93] => [94] => Tento vztah lze graficky zobrazit jako [[vektor]] v [[rovina|rovině]], jehož [[poloha]] v [[čas]]e t=0 je dána [[úhel|úhlem]] \varphi vzhledem k vodorovné ose (zde osa ''x''), a který [[rotace|rotuje]] kolem počátku s [[úhlová rychlost|úhlovou rychlostí]] \omega. [95] => [96] => Zobrazením dvou (nebo i více) kmitavých pohybů najednou a jejich vektorovým sečtením získáme výsledný kmitavý pohyb. [97] => [98] => === Skládání rovnoběžných harmonických kmitů === [99] => Dva harmonické kmity dané rovnicemi [100] => \begin{align} [101] => x_1 = A_1\sin(\omega_1 t+\varphi_1) \\ [102] => x_2 = A_2\sin(\omega_2 t+\varphi_2) [103] => \end{align} [104] => probíhají ve směru stejné osy (např. ''x''), pak se nazývají '''rovnoběžné (stejnosměrné)'''. [105] => [106] => Kmitavý pohyb, který získáme složením těchto kmitů lze získat algebraickým sečtením jednotlivých složek, tzn. [107] => x = x_1+x_2 [108] => Výsledný kmitavý pohyb je tedy rovnoběžný s původními kmity, z nichž vznikl. [109] => [110] => ==== Rovnoběžné harmonické kmity se stejnou frekvencí ==== [111] => Mějme dva harmonické kmity se stejnou úhlovou frekvencí \omega, tzv. '''izochronní kmity''' [112] => \begin{align} [113] => x_1 = A_1\sin(\omega t+\varphi_1) \\ [114] => x_2 = A_2\sin(\omega t+\varphi_2) [115] => \end{align} [116] => Složením těchto rovnoběžných kmitů dostaneme [117] => x = x_1+x_2 = A_1\sin(\omega t+\varphi_1) + A_2\sin(\omega t+\varphi_2) = A\sin(\omega t+\varphi), [118] => kde pro výslednou amplitudu A platí [119] => A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1) [120] => a pro \varphi (tzv. ''[[fázový posun]]'') platí [121] => \operatorname{tg}\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2} [122] => Fázový posun představuje vzájemné posunutí fází dvou kmitajících složek jediného kmitavého pohybu. [123] => [124] => Speciálním případem je skládání kmitů se stejnou (popř. opačnou) [[fáze vlny|fází]]. [125] => [126] => Je-li rozdíl počátečních fází dvou kmitů \varphi_2-\varphi_1=2k\pi, kde k je [[celé číslo]], mají oba skládané kmity stejnou fázi. V takovém případě lze položit \varphi = \varphi_1 = \varphi_2 a amplituda je dána jako A = A_1 + A_2. Při vektorovém znázornění leží oba kmity na stejné přímce a mají stejný směr. [127] => [128] => Skládáme-li kmity s opačnými fázemi, lze počáteční fáze zapsat jako \varphi_1=\varphi, \varphi_2=\varphi+\pi. Amplituda kmitu je rovna A = A_2 - A_1. Při vektorovém znázornění leží vektory A_1 a A_2 na stejné přímce, ale mají opačný směr. Je-li A_1=A_2, je výsledná amplituda [[nula|nulová]], tzn. A=0, tzn. oba kmity se navzájem vyruší. [129] => [130] => ==== Rovnoběžné harmonické kmity s blízkými frekvencemi ==== [131] => Jedná se o zvláštní případ skládání dvou rovnoběžných harmonických kmitů, které mají různé, ale blízké frekvence. [132] => [133] => [[Soubor:zazneje.png|náhled|Rázy (zázněje).]] [134] => Pro zjednodušení předpokládejme, že amplitudy obou kmitů jsou stejné, tj. A_0=A_1=A_2, a [[fázový posun]] je [[nula|nulový]], tzn. \varphi=\varphi_1=\varphi_2. Hledáme tedy výsledný kmitavý pohyb, který sestává z těchto kmitů [135] => \begin{align} [136] => x_1 = A_0\sin\omega_1 t \\ [137] => x_2 = A_0\sin\omega_2 t [138] => \end{align} [139] => [140] => Výsledný kmit lze zapsat ve tvaru [141] => x = x_1+x_2 = A_0(\sin\omega_1 t + \sin\omega_2 t) [142] => Pomocí vhodné [[substituce (matematika)|substituce]] lze pravou stranu upravit na [143] => x = 2A_0\cos\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right) [144] => Pokud se [[úhlová frekvence|úhlové kmitočty]] \omega_1 a \omega_2 příliš neliší, pak platí (\omega_2-\omega_1)\ll (\omega_1+\omega_2). To znamená, že [[kosinus]], v němž vystupuje \omega_2-\omega_1, se mění mnohem pomaleji než [[sinus]], v němž vystupuje výraz \omega_1+\omega_2. To nám umožňuje považovat předchozí vztah za kmitání s úhlovou frekvencí \omega=\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\approx\omega_1\approx\omega_2 s pomalu se měnící [[amplituda|amplitudou]] [145] => A(t) = 2A_0\cos\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\right) [146] => [147] => Periodické kolísání amplitudy se projevuje tzv. '''[[ráz]]y (záznějemi)'''. [148] => [149] => === Skládání kolmých harmonických kmitů === [150] => Vzájemně [[Ortogonalita|kolmé]] harmonické kmity nelze skládat pouhým [[algebraický součet|algebraickým součtem]] výchylek, ale je nutné je skládat [[vektorový součet|vektorově]]. [151] => [152] => Příkladem mohou být dva vzájemně kolmé harmonické kmitavé pohyby [153] => \begin{align} [154] => x = A_1\sin(\omega_1t+\varphi_1) \\ [155] => y = A_2\sin(\omega_2t+\varphi_2) [156] => \end{align} [157] => Tyto kmity leží v [[rovina|rovině]] dané [[osa]]mi ''x'' a ''y'', výsledné kmity budou také ležet v této rovině. [158] => [159] => V jednoduchém případě kmitů o stejné amplitudě A=A_1=A_2 a stejných [[úhlová frekvence|úhlových frekvencích]] \omega=\omega_1=\omega_2 a \varphi_1=\frac{\pi}{2} a \varphi_2=0, se jedná o kmity popsané rovnicemi [160] => \begin{align} [161] => x & = A\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right) = A\cos\omega t \\ [162] => y & = A\sin\omega t [163] => \end{align} [164] => Tyto rovnice však odpovídají rovnicím pro rozklad [[kruhový pohyb|kruhového pohybu]] do směrů os [[kartézská soustava souřadnic|pravoúhlé soustavy souřadnic]]. Výsledný kmitavý pohyb má tedy tvar [[kružnice]]. [165] => [166] => O tomto tvrzení se lze jednoduše přesvědčit tak, že předchozí rovnice [[mocnina|umocníme]] a [[součet|sečteme]], čímž dostaneme x^2+y^2=A^2, což představuje rovnici kružnice o [[poloměr]]u A v [[rovina|rovině]], která je určena osami ''x'' a ''y''. [167] => [168] => Obecně je výsledkem skládání dvou harmonických kmitů o stejné frekvenci pohyb po [[elipsa|elipse]], která ve zvláštních případech přechází v kružnici nebo [[úsečka|úsečku]]. [169] => [170] => Výsledný pohyb při skládání dvou kolmých harmonických kmitů různých [[frekvence|frekvencí]], [[amplituda|amplitud]] a počátečních [[fáze vlny|fází]] probíhá jako [[periodický pohyb]] po [[křivka|křivkách]] nazývaných '''[[Lissajousovy obrazce|Lissajousovy obrazce (křivky)]]'''. [171] => [172] => == Související články == [173] => * [[Vlnění]] [174] => * [[Mechanické vlnění]] [175] => * [[Oscilátor]] [176] => * [[Rezonance]] [177] => [178] => == Externí odkazy == [179] => * {{Commonscat}} [180] => [181] => {{Portály|Fyzika}} [182] => [183] => {{Autoritní data}} [184] => [185] => [[Kategorie:Periodické děje]] [186] => [[Kategorie:Kinematika]] [] => )
good wiki

Kmitání

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'amplituda','čas','rovina','hmotný bod','harmonické kmitání','vektorový součet','úhlová frekvence','frekvence','tlumení','součet','harmonická analýza','vzdálenost'

Amplituda

Amplituda je jednou z hlavních charakteristik při popisu vlnového pohybu.

Čas

Frekvence

Rovina

Vzdálenost