Array ( [0] => 14671872 [id] => 14671872 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Oktonion [uri] => Oktonion [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => Oktonion je matematický pojem, který označuje osmidimenzionální číselnou jednotku. Poprvé byl zaveden irským matematikem Johnem T. Gravesem v roce 1843. Oktoniony jsou členy algebry oktonionů, která je nealgebraickou rozšířením komplexních čísel a kvaternionů. Algebra oktonionů se od ostatních algeber liší v několika významných aspektech. Jedním z nich je nekomutativita, což znamená, že ve všeobecnosti platí, že a * b ≠ b * a pro libovolné nenulové oktoniony a a b. Dalším důležitým rozdílem je zánik sčítání, což znamená, že neexistují nuly oktonionů, a proto se oktoniony samy o sobě nesčítají. Oktoniony mají také specifické vlastnosti, které je odlišují od jiných algeber. Jsou například formálně definovány jako anizotropní, což znamená, že neexistují kolmice oktonionu. Jsou také asociativní vzhledem k násobení, což znamená, že platí a * (b * c) = (a * b) * c pro libovolné oktoniony a, b a c. Oktoniony mají různé aplikace v matematice i fyzice. Například se používají v teorii strun, kalibrační teorii a kvantové mechanice. Mají také geometrický význam a jsou spojeny s Cayley-Dicksonovou konstrukcí. Vzhledem k jejich složitosti jsou oktoniony obsáhlým a komplexním matematickým tématem, které vyžaduje pokročilé znalosti algebry a matematické analýzy. [oai] => Oktonion je matematický pojem, který označuje osmidimenzionální číselnou jednotku. Poprvé byl zaveden irským matematikem Johnem T. Gravesem v roce 1843. Oktoniony jsou členy algebry oktonionů, která je nealgebraickou rozšířením komplexních čísel a kvaternionů. Algebra oktonionů se od ostatních algeber liší v několika významných aspektech. Jedním z nich je nekomutativita, což znamená, že ve všeobecnosti platí, že a * b ≠ b * a pro libovolné nenulové oktoniony a a b. Dalším důležitým rozdílem je zánik sčítání, což znamená, že neexistují nuly oktonionů, a proto se oktoniony samy o sobě nesčítají. Oktoniony mají také specifické vlastnosti, které je odlišují od jiných algeber. Jsou například formálně definovány jako anizotropní, což znamená, že neexistují kolmice oktonionu. Jsou také asociativní vzhledem k násobení, což znamená, že platí a * (b * c) = (a * b) * c pro libovolné oktoniony a, b a c. Oktoniony mají různé aplikace v matematice i fyzice. Například se používají v teorii strun, kalibrační teorii a kvantové mechanice. Mají také geometrický význam a jsou spojeny s Cayley-Dicksonovou konstrukcí. Vzhledem k jejich složitosti jsou oktoniony obsáhlým a komplexním matematickým tématem, které vyžaduje pokročilé znalosti algebry a matematické analýzy. [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => V [[matematika|matematice]] se pojmem '''oktoniony''' označuje [[asociativita|neasociativní]] rozšíření [[kvaternion]]ů. Tvoří osmidimenzionální [[algebra|algebru]] nad [[reálné číslo|reálnými čísly]], nejstarší známý příklad [[neasociativní okruh|neasociativního okruhu]]. [1] => [2] => Oktoniony tvoří poslední, a tudíž nejobecnější typ tzv. [[normované algebry s dělením|normovaných algeber s dělením]] (též nazývané [[Hurwitzovy algebry]]). Je překvapivé, že existují právě jen čtyři takové algebry: [[Reálné číslo|reálná čísla]], [[komplexní čísla]], [[kvaterniony]] a ''oktoniony''. Principiální rozdíl mezi vektorovými prostory a Hurwitzovými algebrami spočívá právě v operaci dělení: zatímco u vektorů operaci dělení dvou vektorů ''vůbec nezavádíme'' (neexistuje), u normovaných algeber s dělením (vzájemně jednoznačná a invertibilní) operace dělení existuje. Hurwitzovy algebry však existují jen ve čtyřech výlučných dimenzích: 1, 2, 4, 8. Dimenze 8 má tedy určité unikátní vlastnosti, dané unikátními vlastnostmi oktonionů. Zatímco reálná čísla, komplexní čísla a kvaterniony mají těsný vztah k regulárním [[Lieova grupa|Lieovým grupám]] typu A, B, C, D, oktoniony mají těsný vztah k tzv. [[výlučné Lieovy grupy|výlučným Lieovým grupám]] typu G2, F4, E6, E7, E8. Řada [[Teoretická fyzika|teoretických fyziků]] proto oprávněně usuzuje též na hlubokou roli oktonionů ve fyzice, zejména částicové.J. Baez: ''The Octonions''. Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. Errata in Bull Amer. Math. Soc. 42 (2005), 213. On-line: http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ [3] => [4] => Zřejmě kvůli neasociativnosti, která je zdánlivě „nefyzikální“, jsou oktoniony dosud méně známé i používané než kvaterniony. [5] => [6] => Mírou narušení komutativního a asociativního zákona jsou u oktonionů veličiny zvané [[Komutátor (algebra)|komutátor]] a [[asociátor]]. [7] => [8] => == Historie == [9] => Oktoniony byly popsány v roce [[1843]] [[John T. Graves|Johnem T. Gravesem]], nezávisle na něm je publikoval i [[Arthur Cayley]] v roce [[1845]]. Proto jsou někdy nazývány '''Cayleyova čísla'''. [10] => [11] => == Definice == [12] => Na oktoniony lze nahlížet jako na osmice reálných čísel, pro které je však – na rozdíl od vektorů – definována vzájemně jednoznačná a invertibilní operace dělení. Každý oktonion je [[lineární kombinace|lineární kombinací]] ''jednotek'', kterými jsou 1, ''i'', ''j'', ''k'', ''l'', ''li'', ''lj'', ''lk''. Oktonion ''x'' se dá tedy zapsat ve tvaru [13] => :''x'' = ''x''0 + ''x''1 ''i'' + ''x''2 ''j'' + ''x''3 ''k'' + ''x''4 ''l'' + ''x''5 ''li'' + ''x''6 ''lj'' + ''x''7 ''lk''. [14] => kde ''x''''a'' jsou reálná čísla. [15] => [16] => Oktoniony se sčítají tak, že se sečtou odpovídající složky (tak jako u komplexních čísel či u kvaternionů), násobí se podle následující tabulky. [17] => [18] => {| class="wikitable" style="text-align:center" [19] => ! 1 [20] => ! ''i'' [21] => ! ''j'' [22] => ! ''k'' [23] => ! ''l'' [24] => ! ''li'' [25] => ! ''lj'' [26] => ! ''lk'' [27] => |- [28] => ! ''i'' [29] => | −1 [30] => | ''k'' [31] => | −''j'' [32] => | −''li'' [33] => | ''l'' [34] => | −''lk'' [35] => | ''lj'' [36] => |- [37] => ! ''j'' [38] => | −''k'' [39] => | −1 [40] => | ''i'' [41] => | −''lj'' [42] => | ''lk'' [43] => | ''l'' [44] => | −''li'' [45] => |- [46] => ! ''k'' [47] => | ''j'' [48] => | −''i'' [49] => | −1 [50] => | −''lk'' [51] => | −''lj'' [52] => | ''li'' [53] => | ''l'' [54] => |- [55] => ! ''l'' [56] => | ''li'' [57] => | ''lj'' [58] => | ''lk'' [59] => | −1 [60] => | −''i'' [61] => | −''j'' [62] => | −''k'' [63] => |- [64] => ! ''li'' [65] => | −''l'' [66] => | −''lk'' [67] => | ''lj'' [68] => | ''i'' [69] => | −1 [70] => | −''k'' [71] => | ''j'' [72] => |- [73] => ! ''lj'' [74] => | ''lk'' [75] => | −''l'' [76] => | −''li'' [77] => | ''j'' [78] => | ''k'' [79] => | −1 [80] => | −''i'' [81] => |- [82] => ! ''lk'' [83] => | −''lj'' [84] => | ''li'' [85] => | −''l'' [86] => | ''k'' [87] => | −''j'' [88] => | ''i'' [89] => | −1 [90] => |} [91] => [92] => == Vlastnosti == [93] => Násobení oktonionů není ani [[komutativita|komutativní]]: [94] => :''ij'' = −''ji'' ≠ ''ji'' [95] => ani [[asociativita|asociativní]]: [96] => :(''ij'')''l'' = −''i''(''jl'') ≠ ''i''(''jl'') [97] => [98] => == Související články == [99] => * [[Hyperkomplexní číslo]] [100] => * [[Kvaternion]] [101] => [102] => == Externí odkazy == [103] => * {{Commonscat}} [104] => [105] => == Reference == [106] => [107] => {{Autoritní data}} [108] => [109] => [[Kategorie:Hyperkomplexní čísla]] [110] => [[Kategorie:Neasociativní algebra]] [111] => [[Kategorie:Lineární algebra]] [] => )
good wiki

Oktonion

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'asociativita','Hurwitzovy algebry','Kategorie:Neasociativní algebra','Kvaternion','komutativita','lineární kombinace','Arthur Cayley','1843','kvaternion','algebra','reálné číslo','neasociativní okruh'

1843

Algebra

Asociativita

Komutativita

Kvaternion