Array ( [0] => 15492867 [id] => 15492867 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Operátor [uri] => Operátor [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => Článek "Operátor" na české Wikipedii je encyklopedickým záznamem, který se zabývá pojmem "operátor" v širokém spektru oborů. Text začíná tím, že definuje operátora jako osobu nebo entitu, která provádí nebo ovládá jakoukoli činnost, ať už v oblasti techniky, matematiky, informačních technologií, výroby nebo v jiných odvětvích. Článek dále pokrývá různé typy operátorů, včetně technických operátorů, jako jsou autovlaky, ropné plošiny, výtahy nebo filmové kamery, a operátorů v oblasti matematiky a logiky, kteří provádějí operace s čísly a symboly. Další části článku se zaměřují na operační systémy a jejich uživatele, jako jsou výpočetní operátory, kteří pracují s počítačovými systémy a sítěmi, a telefonní operátoři, kteří spravují telefonní linky a poskytují komunikační služby. Dále je v článku zmíněno využití operátorů v průmyslu, včetně strojových operátorů a obsluhy strojů. Zmiňuje také operátory veřejné dopravy, jako jsou autobusoví a tramvajoví řidiči, a operátory ve zdravotnictví, kteří ovládají diagnostické a léčebné přístroje. Text také popisuje způsob přípravy a vzdělávání operátorů, které se liší podle druhu činnosti a potřeb každého oboru. Na konci článku jsou uvedeny také související články a informace o operátorech v českém prostředí. [oai] => Článek "Operátor" na české Wikipedii je encyklopedickým záznamem, který se zabývá pojmem "operátor" v širokém spektru oborů. Text začíná tím, že definuje operátora jako osobu nebo entitu, která provádí nebo ovládá jakoukoli činnost, ať už v oblasti techniky, matematiky, informačních technologií, výroby nebo v jiných odvětvích. Článek dále pokrývá různé typy operátorů, včetně technických operátorů, jako jsou autovlaky, ropné plošiny, výtahy nebo filmové kamery, a operátorů v oblasti matematiky a logiky, kteří provádějí operace s čísly a symboly. Další části článku se zaměřují na operační systémy a jejich uživatele, jako jsou výpočetní operátory, kteří pracují s počítačovými systémy a sítěmi, a telefonní operátoři, kteří spravují telefonní linky a poskytují komunikační služby. Dále je v článku zmíněno využití operátorů v průmyslu, včetně strojových operátorů a obsluhy strojů. Zmiňuje také operátory veřejné dopravy, jako jsou autobusoví a tramvajoví řidiči, a operátory ve zdravotnictví, kteří ovládají diagnostické a léčebné přístroje. Text také popisuje způsob přípravy a vzdělávání operátorů, které se liší podle druhu činnosti a potřeb každého oboru. Na konci článku jsou uvedeny také související články a informace o operátorech v českém prostředí. [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{Různé významy|tento=matematickém pojmu}} [1] => '''Operátor''' \hat A je v [[matematika|matematice]] takové [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], které prvku nějakého [[prostor (matematika)|prostoru]] (například [[Funkce (matematika)|funkci]]) ''f'' přiřazuje prvek jiného prostoru ''g'', tedy [2] => :\hat A f = g, [3] => kde f \in \mathbf{X}, g \in \mathbf{Y}. Působením operátoru \hat A na ''f'' tedy získáme ''g''. Říkáme, že na '''X''' je dán operátor \hat A, zobrazující prostor '''X''' do prostoru '''Y'''. [4] => [5] => Operátor se obvykle značí stříškou, například \hat H, \hat p, apod. [6] => [7] => Prvek f \in \mathbf{X} se nazývá ''vzor'' (''originál''), prvek g \in \mathbf{Y} ''obrazem''. [8] => [9] => Množina všech g \in \mathbf{Y}, které přísluší všem f \in \mathbf{X}, tedy množina všech obrazů, se nazývá ''[[obor hodnot]] operátoru'' \hat A. Obvykle se značí \mathrm{Rng}(\hat A). Pokud operátor není definován pro všechna f \in \mathbf{X}, pak se množina těch f \in X, pro které definován, nazývá ''[[definiční obor|definičním oborem]] operátoru''. Významově se tedy pojem operátor dosti překrývá s konceptem [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]], ale typicky se používá v kontextu prostorů funkcí, které samy jsou zobrazeními; pro přehlednost je tedy užitečné tuto vyšší úroveň zobrazování pojmenovat jinak. [10] => [11] => Jako operátor se v matematice a informatice dále označuje [[symbol|značka]] nějaké matematické transformace, například znaménko + jako značka přičítání. [12] => [13] => == Funkcionál == [14] => Pokud je \mathbf{Y} množina [[reálné číslo|reálných]], případně [[komplexní číslo|komplexních čísel]], takže [[proměnná]] ''g'' je reálné či komplexní číslo, pak se operátor \hat A nazývá (reálný či komplexní) '''[[funkcionál]]'''. [15] => [16] => == Vybrané druhy operátorů == [17] => === Lineární operátor === [18] => '''Lineární operátor''' \hat A je takový operátor, pro který platí [19] => :\hat A \bigl(\sum_i c_i f_i\bigr) = \sum_i c_i (\hat A f_i) [20] => kde f_i jsou libovolné funkce a c_i jsou libovolné koeficienty. [21] => [22] => Linearitu operátoru \hat A stačí ověřit na dvou sčítancích. Tedy že pokud existují libovolné koeficienty c_1, c_2 a libovolné vektory f_1, f_2, g_1, g_2 takové, že g_1 = \hat A f_1 a g_2 = \hat A f_2, pak platí [23] => :\hat A (c_1 f_1 + c_2 f_2) = c_1 \hat A f_1 + c_2 \hat A f_2 = c_1 g_1 + c_2 g_2 [24] => Pro libovolnou konečnou sumu se pak dá tvrzení dokázat matematickou indukcí. [25] => [26] => Ještě jednodušeji vyjádřeno stačí ověřit, že platí tyto dvě vlastnosti: [27] => [28] => 1) \hat A(x+y) = \hat A(x) + \hat A(y), [29] => [30] => 2) \hat A(cx) = c \hat A(x), kde c je konstanta. [31] => [32] => Lineárním operátorem \hat A je například limita, když ''x'' a ''y'' jsou funkce nebo posloupnosti. Limita je lineární operace a protože derivace je definována pomocí limit, je též lineárním operátorem. Integrál je inverzní operátor k derivaci, je tedy též lineárním operátorem. [33] => [34] => === Antilineární operátor === [35] => Operátor se označuje jako '''antilineární''', jestliže platí [36] => :\hat A \sum_i c_i f_i = \sum_i c_i^* \hat A f_i, [37] => kde f_i jsou libovolné funkce a c_i^* jsou koeficienty [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdružené]] k c_i. [38] => [39] => === Operátor identity === [40] => Důležitým operátorem je '''operátor [[identita (matematika)|identity]]''' ('''jednotkový operátor''') \hat I, pro který platí [41] => :\hat I f = f [42] => [43] => Působením operátoru identity \hat I tedy nedochází k žádné změně. [44] => [45] => === Totožné operátory === [46] => Pokud pro dva operátory \hat A, \hat B z '''X''' do '''Y''' platí \hat A f = \hat B f pro každé f \in \mathbf{X}, pak jsou oba operátory ''totožné''. [47] => [48] => === Spojitý operátor === [49] => Operátor \hat A se nazývá ''spojitý'' v bodě f_0 \in \mathbf{X}, jestliže pro každou [[posloupnost]] prvků \{f_n\} z \mathbf{X}, pro kterou v prostoru \mathbf{X} platí f_n \to f_0, platí také \hat A f_n \to \hat A f_0, tzn. g_n \to g_0, v prostoru \mathbf{Y}. [50] => [51] => Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě f_1 \in \mathbf{X}, je spojitý v každém bodě f \in \mathbf{X}. [52] => [53] => === Omezený operátor === [54] => Operátor \hat A je ''ohraničený (omezený) operátorem'' tehdy, jestliže existuje takové \mu > 0 (nezávislé na ''f''), že pro každé f \in \mathbf{X} platí [55] => :{\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} \leq \mu {\|f\|}_\mathbf{X}, [56] => kde {\|f\|}_\mathbf{X} je [[norma vektoru|norma]] funkce (vlastního řešení) ''f'' v prostoru '''X''' a {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} je norma prvku \hat A f v prostoru '''Y'''. [57] => [58] => Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem. [59] => [60] => [[Infimum]] čísel \mu operátoru \hat A představuje '''normu operátoru''' \|\hat A\|, tzn. [61] => :\|\hat A\| = \inf \mu [62] => [63] => Normu lze také získat jako [[supremum]] množiny čísel {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} pro všechny jednotkové prvky ''f'', tzn. [64] => :\|\hat A\| = \sup_{{\|f\|}_\mathbf{X} = 1, f \in \mathbf{X}} {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} [65] => [66] => === Symetrický, hermitovský a sdružený operátor === [67] => {{Podrobně|Sdružený operátor}} [68] => {{Podrobně|Hermitovský operátor}} [69] => Operátor \hat A se označuje jako '''symetrický''', jestliže platí [70] => :\langle f|\hat A g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle [71] => kde bylo použito zápisu pomocí [[Diracova notace|Diracovy symboliky]] běžně užívané v kvantové fyzice. [72] => [73] => Omezený symetrický operátor se označuje jako '''hermitovský'''. [74] => [75] => Operátor \hat A se označuje jako '''antihermitovský''', je-li operátor \mathrm{i} \hat A hermitovský. [76] => [77] => K operátoru \hat A existuje '''sdružený operátor''' {\hat A}^+, který splňuje vztah [78] => :\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle [79] => neboli [80] => :\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = {\langle g|\hat A f\rangle}^* [81] => [82] => Platí vztahy [83] => :\|{\hat A}^+\| = \|\hat A\| [84] => :{({\hat A}^+)}^+ = \hat A [85] => :{(\hat A + \hat B)}^+ = {\hat A}^+ + {\hat B}^+ [86] => :{(\hat A \hat B)}^+ = {\hat B}^+ {\hat A}^+ [87] => :{(\lambda \hat A)}^+ = \lambda^* {\hat A}^+ [88] => [89] => Operátor  se nazývá '''samosdružený''', jestliže platí [90] => :{\hat A}^+ = \hat A [91] => [92] => Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermitovský a symetrický ekvivalentní. [93] => [94] => Samosdružený operátor \hat A je ''pozitivní'', když pro každé |u\rangle platí [95] => :\langle u|\hat A|u\rangle \ge 0 [96] => [97] => Operátor se označuje jako ''normální'', když platí [98] => :[\hat A,{\hat A}^+] = 0, [99] => kde [,] označují [[komutátor (algebra)|komutátor]]. [100] => [101] => === Inverzní operátor === [102] => Operátor {\hat A}^{-1} je '''inverzním operátorem''' k \hat A, pokud platí [103] => :\hat A {\hat A}^{-1} = {\hat A}^{-1} \hat A = \hat I, [104] => kde \hat I představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat. [105] => [106] => Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů) [107] => :{(\hat A \hat B)}^{-1} = {\hat B}^{-1} {\hat A}^{-1} [108] => :{({\hat A}^+)}^{-1} = {({\hat A}^{-1})}^+ [109] => [110] => === Unitární operátor === [111] => {{Podrobně|Unitární operátor}} [112] => Operátor \hat A je '''unitární''', pokud platí [113] => :{\hat A}^+ = {\hat A}^{-1} [114] => neboli [115] => :{\hat A}^+ \hat A = \hat A {\hat A}^+ = \hat I, [116] => kde \hat I je operátor identity. [117] => [118] => Pro libovolný unitární operátor \hat A platí [119] => :\langle \hat A u|\hat A v\rangle = \langle u|v\rangle [120] => [121] => Jestliže operátor \hat M splňuje vztah [122] => :\langle \hat M u|\hat M v\rangle = \langle u|v \rangle, [123] => pak operátor \hat M označujeme jako ''izometrický''. Izometrický operátor sice splňuje vztah {\hat M}^+ \hat M = \hat I, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být \hat M {\hat M}^+ \ne \hat I. [124] => [125] => === Projekční operátor === [126] => Omezený operátor \hat E se označuje jako '''projekční''', splňuje-li podmínky [127] => :\hat E = {\hat E}^+ = {\hat E}^2 [128] => [129] => Je-li \hat E projekční operátor, pak je projekčním operátorem také [130] => :{\hat E}^\prime = \hat I - \hat E, [131] => kde \hat I představuje operátor identity. Platí přitom vztahy [132] => :\hat E + {\hat E}^\prime = \hat I [133] => :\hat E {\hat E}^\prime = 0 [134] => [135] => Je-li |\psi_k\rangle vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného [[Vektorový podprostor|podprostoru]] tvořeného všemi vektory [[lineární závislost|lineárně závislými]] na |\psi_k\rangle lze vyjádřit jako [136] => :\hat E_k = |\psi_k\rangle\langle\psi_k| [137] => [138] => Jestliže množina vektorů \{|\psi_k\rangle\} tvoří ortonormální [[Báze (algebra)|bázi]] podprostoru H_1, pak projekční operátor do H_1 \subset H vyjádříme jako [139] => :\sum_k \hat E_k = \sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k| [140] => [141] => Pokud je H_1 = H, pak je projekční operátor operátorem identity, takže [142] => :\sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k| = \hat I [143] => Tento vztah představuje tzv. ''relaci úplnosti (uzavřenosti)''. [144] => [145] => == Operace s operátory == [146] => [[součet|Součtem]] dvou operátorů \hat A, \hat B vznikne operátor \hat C = \hat A + \hat B, pro který platí [147] => :\hat C u = (\hat A + \hat B) u = \hat A u + \hat B u [148] => [149] => Operátor \hat C označíme jako [[součin]] operátorů \hat A a \hat B, tzn. \hat C= \hat A \hat B, pokud pro každé ''u'' platí [150] => :\hat C u = \hat A (\hat B u) [151] => [152] => Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, například {\hat A}^2 = \hat A \hat A. [153] => [154] => Násobení operátorů není [[komutativnost|komutativní]], tedy v obecném případě pro dva operátory \hat A, \hat B neplatí \hat A \hat B = \hat B \hat A. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů \hat A, \hat B, zavádíme tzv. ''[[Komutátor (algebra)|komutátor]] operátorů'' [155] => :[\hat A,\hat B] = {[\hat A, \hat B]}_- = \hat A \hat B - \hat B \hat A [156] => [157] => Dva ''nekomutativní operátory'' \hat A, \hat B splňují pro některé ''u'' vztah [158] => :[\hat A,\hat B] \ne 0 [159] => Dva komutativní operátory \hat A, \hat B splňují pro libovolné ''u'' vztah [160] => :[\hat A,\hat B] = 0 [161] => [162] => Jsou-li lineární hermiteovské operátory \hat A, \hat B komutativní, pak mají společné [[vlastní funkce]]. [163] => [164] => Jestliže operátory \hat A, \hat B komutují, tedy [\hat A,\hat B]=0, pak pro libovolné funkce ''f'', ''g'' platí [165] => :[f(\hat A),g(\hat B)] = 0 [166] => [167] => Kromě komutátoru se zavádí také ''[[antikomutátor]] operátorů'' [168] => :\{\hat A,\hat B\} = {[\hat A,\hat B]}_+ = \hat A \hat B + \hat B \hat A [169] => [170] => Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy: [171] => :[\hat A,\hat B] = -[\hat B, \hat A] [172] => :[\hat A,\hat B + \hat C] = [\hat A,\hat B] + [\hat A, \hat C] [173] => :[\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B\{\hat A,\hat C\} [174] => :[\hat A \hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A \{\hat B,\hat C\} - \{\hat A,\hat C\}\hat B [175] => :\{\hat A,\hat B\} = \{\hat B,\hat A\} [176] => :\{\hat A,\hat B + \hat C\} = \{\hat A,\hat B\} + \{\hat A,\hat C\} [177] => :\{\hat A,\hat B \hat C\} = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B[\hat A,\hat C] = \hat B\{\hat C,\hat A\} - [\hat B,\hat A]\hat C [178] => :\{\hat A \hat B,\hat C\} = \hat A\{\hat B,\hat C\} - [\hat A,\hat C]\hat B = \{\hat C,\hat A\}\hat B - \hat A[\hat C,\hat B] [179] => [180] => Platí také [[Jacobiho identita]] [181] => :[\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]]=0 [182] => [183] => == Příklad == [184] => * Příkladem lineárního operátoru může být operátor \hat A = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její [[derivace|derivaci]] podle [[proměnná|proměnné]] ''x''. [185] => * Nelineárním operátorem je operátor \hat A = \sin. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci ''f'' vyjde \hat A f = \sin f. [186] => [187] => == Použití == [188] => Operátory jsou nepostradatelné jak v [[diferenciální počet|diferenciálním počtu]] v matematice (například operátor [[nabla]]), tak při použití v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]] a při zjednodušování zápisu identit ([[Rovnice|rovnic]]) jinde ve [[fyzika|fyzice]]. Používají se také při zápisu počítačových [[Počítačový program|programů]] v [[programovací jazyk|programovacích jazycích]]. [189] => [190] => === Arita === [191] => {{podrobně|Arita operace}} [192] => Arita jako pojem udává počet [[operand]]ů daného operátoru: [193] => # unární - operátor s jedním operandem, například [[negace]], ať aritmetická, logická či [[doplněk množiny]] (v rámci zamlčeného [[definiční obor|definičního oboru]]). [194] => # binární - jde o nejčastější případ, tedy pokud se v praxi mluví o operátoru, typicky jde o operátor se dvěma operandy: Je nejintuitivnější při našem lidském lineárním zápisu textu. Například: +-*^ [195] => # ternární - operátorů se třemi operandy je jen málo, v porovnání s množstvím binárních jsou výjimečné. Typickým zástupcem je [[Ternární operátor (programování)|ternární operátor]] z [[programování]]. [196] => [197] => Slovo "arita" pochází z [[Latina|latinského]] [[Kořen (mluvnice)|kořene]] [[přídavné jméno|adjektiva]] popisujícího počet operandů operátoru, zda je tento: un-''ár(ní)'', bin-''ár(ní)'', tern-''ár(ní)''... [198] => [199] => == Související články == [200] => [201] => * [[Zobrazení (matematika)|Zobrazení]] [202] => * [[Množina]] [203] => * [[Vlastní číslo]] [204] => * [[Vektorový prostor]] [205] => * [[Kvantová fyzika]] [206] => * [[Programovací jazyk]] [207] => * [[Diracova notace|Diracova symbolika]] [208] => [209] => {{Autoritní data}} [210] => [211] => [[Kategorie:Algebra]] [212] => [[Kategorie:Operátory| ]] [213] => [[Kategorie:Funkcionální analýza]] [] => )
good wiki

Operátor

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'proměnná','Diracova notace','definiční obor','Zobrazení (matematika)','Programovací jazyk','Kvantová fyzika','fyzika','přídavné jméno','kvantová mechanika','součin','Báze (algebra)','Vektorový podprostor'

Fyzika

Fyzika je vědecká disciplína, která se zabývá studiem zákonů přírody.

Proměnná

Součin