Array ( [0] => 14671031 [id] => 14671031 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Rovnoběžník [uri] => Rovnoběžník [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => [[Soubor:Parallelogram measures.svg|náhled|Rovnoběžník]] [1] => '''Rovnoběžník''' ({{Vjazyce|la}} ''parallelogrammum'', někdy též ''r(h)omboid''; ve starší české literatuře '''kosodélník''') je [[čtyřúhelník]], jehož protilehlé [[strana (geometrie)|strany]] jsou [[rovnoběžky|rovnoběžné]]. [2] => [3] => == Vlastnosti == [4] => Protější strany rovnoběžníku jsou shodné (mají stejnou délku) : a=|AB|=|CD|=c, \qquad d=|AD|=|BC|=b. [5] => [6] => Protější úhly rovnoběžníku jsou shodné. Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360°, součet dvou sousedních úhlů je 180°. [7] => [8] => Velikost protilehlých [[úhel|úhlů]] má stejnou velikost, platí \alpha=\angle DAB = \angle BCD=\gamma,\qquad \beta= \angle ABC = \angle CDA=\delta. [9] => Průsečík úhlopříček e, f rovnoběžníku je jeho [[Střed souměrnosti|středem souměrnosti]]. Úhlopříčka rozděluje rovnoběžník na dva [[Shodné zobrazení|shodné]] trojúhelníky. [10] => [11] => [[úhlopříčka|Úhlopříčky]] rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček se počítají podle vzorce: [12] => :e = |AC| = \sqrt{ a^2+d^2+2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a + h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,, [13] => :f = |BD| = \sqrt{ a^2+d^2-2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a - h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,. [14] => [15] => Rovnoběžník je [[Středová souměrnost|středově souměrný]], středem souměrnosti je průsečík jeho úhlopříček. [16] => [17] => Shrnutí vlastností čtyřúhelníků. {{Citace monografie [18] => | příjmení = Odvárko [19] => | jméno = Oldřich [20] => | příjmení2 = Kadleček [21] => | jméno2 = Jiří [22] => | titul = Matematika pro 7. ročník základní školy. [3], Shodnost. Středová souměrnost. Čtyřúhelníky, hranoly [23] => | url = https://www.worldcat.org/oclc/41530899 [24] => | vydání = 1. vyd [25] => | vydavatel = Prometheus [26] => | místo = Praha [27] => | rok vydání = 1999 [28] => | počet stran = 87 [29] => | strany = [30] => | isbn = 80-7196-129-9 [31] => | isbn2 = 978-80-7196-129-1 [32] => | oclc = 41530899 [33] => }} [34] => [35] => {| class="wikitable" [36] => | colspan="4" |''' ROVNOBĚŽNÍKY ''' [37] => {| class="wikitable" [38] => | '''čtverec ||''' obdélník ||'''kosočtverec ||'''kosodélník [39] => |- [40] => |[[Soubor:Ctverec uhlopricky.png]]||[[Soubor:Obdélník uhlopricky.png]] ||[[Soubor:Kosočtverec uhlopricky.png]] ||[[Soubor:Kosodelnik uhlopricky.png]] [41] => |- [42] => |všechny strany jsou stejně dlouhé [43] => |sousední strany mají různé délky [44] => |všechny strany jsou stejně dlouhé [45] => |sousední strany mají různé délky [46] => |- [47] => |colspan="2" |všechny vnitřní úhly jsou pravé [48] => |colspan="2" |žádný vnitřní úhel není pravý [49] => |- [50] => |colspan="4" |úhlopříčky se navzájem půlí [51] => |- [52] => |colspan="2" |úhlopříčky mají stejnou délku [53] => |colspan="2" |úhlopříčky mají různé délky [54] => |- [55] => |úhlopříčky jsou k sobě kolmé [56] => |úhlopříčky nejsou k sobě kolmé [57] => |úhlopříčky jsou k sobě kolmé [58] => |úhlopříčky nejsou k sobě kolmé [59] => |- [60] => |úhlopříčky půlí vnitřní úhly [61] => |úhlopříčky nepůlí vnitřní úhly [62] => |úhlopříčky půlí vnitřní úhly [63] => |úhlopříčky nepůlí vnitřní úhly [64] => |} [65] => |} [66] => [67] => == Obsah == [68] => [[Obsah]] rovnoběžníku je roven: S = a h_a = b h_b = a b \sin\alpha, [69] => [70] => kde a=|AB| a b=|AD| jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a h_a je výška ke straně AB, obdobně h_b je výška ke straně AD, \alpha je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami. [71] => [72] => === V rovině === [73] => Pokud jsou vrcholy A,B,C,D zadány pomocí souřadnic v rovině, tj. A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), atd., je obsah rovnoběžníku roven [[absolutní hodnota|absolutní hodnotě]] [[determinant]]u sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto [74] => :S=\left|\det\left(\begin{array}{cc}x_B-x_A & x_D-x_A \\ y_B-y_A & y_D-y_A\end{array}\right)\right|=|(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)|. [75] => Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol A s počátkem souřadného systému, tj. A=(0,0), pak tedy [76] => :S=|x_By_D-x_Dy_B|. [77] => Zcela analogicky lze spočítat [[objem]] libovolného [[rovnoběžnostěn]]u, resp. nadobjem libovoného n-rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v n-rozměrném prostoru). [78] => [79] => === V trojrozměrném prostoru === [80] => Pokud jsou vrcholy A,B,C,D zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. A=(x_A,y_A,z_A), B=(x_B,y_B,z_B), atd., a zavedeme-li stranové vektory [81] => :\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,z_D-z_A), [82] => je obsah rovnoběžníku roven [[norma (matematika)|euklidovské normě]] (délce) vektoru \mathbf{a}\times\mathbf{b}, [83] => kde "\times" značí [[vektorový součin]] dvou vektorů. Tedy [84] => :S=\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|_2 = \Big((\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\Big)^{1/2} [85] => kde "\,\cdot\," značí [[skalární součin]] dvou vektorů. [86] => [87] => Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy z, tj. [88] => :\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0), [89] => pak [90] => :\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\Big(0,0,(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)\Big), [91] => čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině. [92] => [93] => Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol A s počátkem souřadného systému, tj. A=(0,0,0), pak [94] => :\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(y_Bz_D-y_Dz_B,x_Dz_B-x_Bz_D,x_By_D-x_Dy_B) [95] => v obecném případě, respektive [96] => :\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(0,0,x_By_D-x_Dy_B) [97] => v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy z. [98] => [99] => Zobecněním vektorového součinu do n-rozměrného prostoru (jedná se o součin (n-1) lineárně nezávislých vektorů délky n, jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovolného (n-1)-rozměrného nadrovnoběžníku v n-rozměrném prostoru. [100] => [101] => === V ''n''-rozměrném (reálném) prostoru === [102] => Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném n-rozměrném prostoru [103] => :\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n),\qquad \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n), [104] => pak jeho obsah je dán vztahem [105] => :S=\sqrt{\|\mathbf{a}\|_2^2\|\mathbf{b}\|_2^2-\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle^2}=\Big((\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2\Big)^{1/2}, [106] => kde "\langle\,,\,\rangle", resp. "\,\cdot\," značí skalární součin dvou vektorů. [107] => [108] => Dosazením [109] => :\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0,\ldots,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0,\ldots,0), [110] => opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině. [111] => [112] => == Reference == [113] => [114] => [115] => == Literatura == [116] => * Karel Rektorys a kolektiv: ''Přehled užité matematiky I'', Prometheus, Praha 1995, {{ISBN|80-85849-92-5}}, str. 97 [117] => * Marcela Palková a kolektiv: ''Průvodce matematikou 2'', Didaktis, Brno 2007, {{ISBN|978-80-7358-083-4}}, str. 54-55 [118] => [119] => == Související články == [120] => * [[Geometrický útvar]] [121] => * [[Čtyřúhelník]] [122] => * [[Rovnoběžnostěn]] [123] => * [[Čtverec]] [124] => [125] => == Externí odkazy == [126] => * {{Commonscat}} [127] => [128] => {{Pahýl}} [129] => {{Autoritní data}} [130] => [131] => {{Portály|Matematika}} [132] => [133] => [[Kategorie:Čtyřúhelníky]] [] => )
good wiki

Rovnoběžník

Rovnoběžník Rovnoběžník ( parallelogrammum, někdy též r(h)omboid; ve starší české literatuře kosodélník) je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'Soubor:Parallelogram measures.svg','úhlopříčka','Soubor:Kosočtverec uhlopricky.png','Soubor:Ctverec uhlopricky.png','Čtverec','Čtyřúhelník','skalární součin','strana (geometrie)','rovnoběžky','úhel','Střed souměrnosti','Shodné zobrazení'

Čtverec

Čtyřúhelník

Rovnoběžky

Úhel

Úhlopříčka