Array ( [0] => 15500259 [id] => 15500259 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Subdeterminant [uri] => Subdeterminant [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => [[Soubor:Minors.svg|náhled|Subdeterminanty matice: zeleně je vyznačena podmatice odpovídající ''(druhému) minoru'' řádu 3 a hodnoty 16, žlutě podmatice k ''hlavnímu'' minoru řádu 2 hodnoty -7 a purpurově podmatice k ''vedoucímu'' hlavnímu minoru hodnoty 4.]] [1] => V [[Lineární algebra|lineární algebře]] je '''subdeterminant''' nebo též '''minor''' matice \boldsymbol{A} [[Determinant|determinantem]] [[podmatice]], která byla z matice \boldsymbol{A} získána odstraněním některých řádků a sloupců. Počet řádků podmatice je '''řádem''' '''subdeterminantu'''. Subdeterminanty získané odstraněním právě jednoho řádku a jednoho sloupce ze čtvercové matice umožňují redukovat řád [[Determinant|determinantu]] pomocí rozvoje podle řádku nebo sloupce. Prostřednictvím [[Adjungovaná matice|adjungované matice]] také souvisejí s [[inverzní matice|inverzní maticí]]. [2] => [3] => == Definice == [4] => [5] => Pro matici \boldsymbol{A} typu m \times n a 0\leq k \leq \min\{m, n\} se '''subdeterminantem''' nebo '''minorem''' '''řádu''' k, nazývá [[determinant]] [[čtvercová matice|čtvercové matice]] řádu k získané z matice \boldsymbol{A} ''odebráním'' m-k řádků a n-k sloupců. Někdy se používá slovo „stupeň“ pro „řád“ subdeterminantu či minoru. Termín „minor“ se také nesprávně používá k označení čtvercové matice řádu k získané uvedeným způsobem, ale tato matice by měla být označována jako ''(čtvercová) podmatice'' matice \boldsymbol{A}, přičemž výraz „minor“ by měl být užíván pouze pro determinant této matice. [6] => [7] => Matice \boldsymbol{A} typu m \times n má celkem \binom{m}{k} \cdot\binom{n}{k} subdeterminantů řádu k. ''Subdeterminant řádu nula'' je definován jako 1. [8] => [9] => Operace ''odebrání'' formálně spočívá ve výběru [[Vybraná posloupnost|posloupnosti]] indexů řádků 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m a posloupnosti indexů sloupců 1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n. Tyto vybrané množiny indexů I = \{i_1, \dots, i_k\} a J= \{j_1, \dots, j_k\} se použijí k výpočtu determinantu podmatice \boldsymbol{A}[I \times J], čili výrazu: [10] => [11] => :\det(\boldsymbol{A}[I \times J])= [12] => \begin{vmatrix} [13] => a_{i_1,j_1} & a_{i_1,j_2} & \dots & a_{i_1,j_k} \\ [14] => a_{i_2,j_1} & a_{i_2,j_2} & \dots & a_{i_2,j_k} \\ [15] => \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ [16] => a_{i_k,j_1} & a_{i_k,j_2} & \dots & a_{i_k,j_k} [17] => \end{vmatrix} [18] => [19] => [20] => Je-li \boldsymbol{A} čtvercová matice řádu n, [21] => potom její '''první minor''' je každý subdeterminant řádu n-1, a jako takový vzniká odebráním jednoho řádku a sloupce. Podobně pro druhé a další minory. Za ''nultý minor'' čtvercové matice lze považovat její determinant. [22] => [23] => První minor, který je determinantem podmatice vytvořené z čtvercové matice \boldsymbol{A} odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce se nazývá '''subdeterminant (minor) příslušný k prvku a_{ij} matice \boldsymbol{A}.''' [24] => [25] => Pokud I = J, čili pokud z matice bylo ponecháno k řádků a sloupců se stejnými indexy, nazývá se odpovídající subdeterminant '''hlavním minorem''' stupně k (platí i pro obdélníkové matice). Hlavní minor stupně k, vzniklý odebráním posledních m-k řádků a n-k sloupců, neboli daný množinami I = J = \{1, 2, \dots, k\}, se nazývá '''vedoucí hlavní minor řádu k'''. U čtvercových matic řádu n se nazývá též '''(n-k)-tý vedoucí (hlavní) minor'''. [26] => [27] => Někdy jsou ''vedoucí hlavní minory'' nazývány hlavními minory, zatímco první zmíněné nejsou nijak zvlášť pojmenovány. [28] => [29] => ===Ukázka=== [30] => U reálné matice [31] => [32] => : \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} [33] => [34] => typu 3 \times 4 vznikne ''odebráním'' druhého řádku a také druhého a třetího sloupce, neboli ponecháním prvků s řádkovými indexy z množiny I = \{1, 3\} a sloupcovými indexy z množiny J = \{1,4\} subdeterminant hodnoty: [35] => [36] => : \begin{vmatrix} 1 & \Box & \Box & 2 \\ \Box & \Box & \Box & \Box \\ 7 & \Box & \Box & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 7 = 4 - 14 = -10. [37] => [38] => Tento minor není hlavní, protože I \ne J. Hlavní minor matice \boldsymbol{A} je například subdeterminant [39] => [40] => : \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 8 [41] => [42] => odvozený z množin I = J=\{2,3\}. [43] => [44] => Vedoucí hlavní minory matice \boldsymbol{A} jsou: [45] => [46] => : řádu 1: \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1,\quad řádu 2: \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3, \quad řádu 3: \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -55. [47] => [48] => Subdeterminant příslušný k prvku a_{23} reálné čtvercové matice [49] => : \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} [50] => 1 & 4 & 7 \\ [51] => 3 & 0 & 5 \\ [52] => -1 & 9 & 11 \\ [53] => \end{pmatrix} [54] => [55] => je roven: [56] => [57] => : \begin{vmatrix} [58] => 1 & 4 & \Box \\ [59] => \Box & \Box & \Box \\ [60] => -1 & 9 & \Box \\ [61] => \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} [62] => 1 & 4 \\ [63] => -1 & 9 \\ [64] => \end{vmatrix} = 9-(-4) = 13 [65] => [66] => ==Použití subdeterminantů== [67] => === Algebraický doplněk === [68] => {{Podrobně|Adjungovaná matice}} [69] => '''Algebraickým doplňkem''' nebo také '''kofaktorem''' prvku a_{ij} [[Čtvercová matice|čtvercové]] matice \boldsymbol{A} nazýváme číslo [70] => [71] => : \tilde a_{ij} = [72] => {(-1)}^{i + j} {\det \boldsymbol{A}_{ij}}= [73] => \begin{vmatrix} [74] => a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1} & 0 & a_{1,j+1} & \dots & a_{1,n} \\ [75] => \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ [76] => a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1} &0 & a_{i-1,j+1} & \dots & a_{i-1,n}\\ [77] => 0 & \dots & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ [78] => a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1} &0 & a_{i+1,j+1} & \dots & a_{i+1,n}\\ [79] => \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ [80] => a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1} & 0 & a_{n,j+1} & \dots & a_{n,n} [81] => \end{vmatrix}\;, [82] => [83] => kde \det \boldsymbol{A}_{ij} je subdeterminant příslušný k prvku a_{ij} matice \boldsymbol{A}. Transponovaná matice z algebraických doplňků se nazývá [[adjungovaná matice]]. Adjungovaná matice k [[Regulární matice|regulární matici]] je |\boldsymbol{A}|-násobkem její [[inverzní matice]]. [84] => [85] => === Laplaceův rozvoj determinantu=== [86] => {{Podrobně|Determinant}} [87] => [88] => Algebraický doplněk lze použít k výpočtu [[Determinant|determinantu]]. Pro libovolný (pevně daný) řádkový index i lze determinant matice \boldsymbol{A} řádu n vyjádřit pomocí součtu součinů všech prvků tohoto řádku a jejich algebraických doplňků: [89] => [90] => :\det \boldsymbol{A} = \sum_{j=1}^n a_{ij} [91] => \tilde a_{ij} [92] => = [93] => \sum_{j=1}^n a_{ij} {(-1)}^{i + j} \det \boldsymbol{A}_{ij}. [94] => [95] => Tento vzorec se nazývá ''(Laplaceův) rozvoj (rozklad) determinantu podle i-tého řádku''. Vzhledem k tomu, že se determinant nezmění transpozicí matice, lze jej vyjádřit teké ''rozvojem (rozkladem) podle j-tého sloupce:'' [96] => [97] => :\det \boldsymbol{A} = \sum_{i=1}^n a_{ij} [98] => \tilde a_{ij} = [99] => \sum_{i=1}^n a_{ij} {(-1)}^{i + j} \det \boldsymbol{A}_{ij}. [100] => [101] => Pomocí těchto vzorců lze výpočet determinantu převést na výpočet několika subdeterminantů, jejichž řád je o jedna menší. Opakováním tohoto procesu lze dospět až k subdeterminantům prvního řádu, jejichž hodnota je odpovídá jednotlivým prvkům matice. Uvedený postup vede na [https://en.wikibooks.org/w/index.php?title=Algorithm_Implementation/Linear_Algebra/Determinant_of_a_Matrix&stable=0 rekurentní algoritmus] pro výpočet determinantu. Navzdory jednoduché implementaci roste jeho výpočetní složitost exponenciálně rychle s řádem determinantu, proto je vhodnější determínant počítat např. [[Gaussova eliminační metoda|Gaussovou eliminační metodou]]. [102] => [103] => Rozvoj determinantu je možné zobecnit{{Citace elektronické monografie [104] => | příjmení = Horák [105] => | jméno = Pavel [106] => | příjmení2 = Janyška [107] => | jméno2 = Josef [108] => | titul = Lineární algebra [109] => | url = https://www.math.muni.cz/~janyska/LA_CELE.pdf [110] => | vydavatel = Masarykova Univerzita [111] => | datum přístupu = 2022-06-04 [112] => | strany = 34 [113] => }} i na rozvoj podle víceprvkové množiny vybraných řádků s využitím všech možných subdeterminantů sestavených z těchto řádků. [114] => [115] => ===Další aplikace=== [116] => [117] => Každá reálná matice typu m \times n [[Hodnost matice|hodnosti]] r (platí i pro matice nad libovolným [[Komutativní těleso|tělesem]]) má alespoň jeden nenulový subdeterminant řádu r, zatímco všechny subdeterminanty řádu alespoň r+1 jsou nulové. [118] => [119] => U [[Hermitovská matice|hermitovských matic]] mohou být vedoucí hlavní minory použity k testu pozitivní definitnosti podle [[Sylvesterovo kritérium|Sylvesterova kritéria]] a hlavní minory mohou být podobně použity k testu pozitivní semidefinitnosti. [120] => [121] => Jak vzorec pro obyčejný [[Násobení matic|součin matic]], tak i [[Cauchyho–Binetův vzorec]] pro determinant součinu matic jsou speciálními případy následujícího obecného tvrzení o subdeterminantech součinu matic. Jsou-li matice \boldsymbol{A} typu m\times n, matice \boldsymbol{B} typu n\times p a jsou-li I a J dvě k-prvkové [[Podmnožina|podmnožiny]] množin\{1,\dots,m\} a \{1,\dots,p\}, potom platí: [122] => [123] => : (\boldsymbol{AB})[I\times J] = \sum_{K} \mathbf{A}[I\times K]\cdot \mathbf{B}[K\times J]\,, [124] => [125] => kde součet prochází přes všechny k-prvkové podmnožiny K množiny \{1,\dots,n\}. Uvedený vztah je přímým rozšířením Cauchyho–Binetova vzorce. [126] => [127] => == Odkazy == [128] => === Reference === [129] => {{Překlad [130] => | jazyk = en [131] => | článek = Minor (linear algebra) [132] => | revize = 1182988311 [133] => | jazyk2 = de [134] => | článek2 = Minor (Lineare Algebra) [135] => | revize2 = 239762479 [136] => | jazyk3 = pl [137] => | článek3 = Minor [138] => | revize3 = 71660988 [139] => }} [140] => [141] => [142] => === Literatura === [143] => [144] => * {{Citace monografie [145] => | příjmení = Bärtsch [146] => | jméno = Hans-Jochen [147] => | titul = Matematické vzorce [148] => | vydavatel = Academia [149] => | místo = Praha [150] => | rok = 2006 [151] => | počet_stran = 832 [152] => | kapitola = Matice [153] => | strany = 180–198 [154] => | isbn = 80-200-1448-9 [155] => }} [156] => * {{Citace monografie [157] => | příjmení = Bečvář [158] => | jméno = Jindřich [159] => | titul = Lineární algebra [160] => | vydání = 1. [161] => | vydavatel = Matfyzpress [162] => | místo = Praha [163] => | rok vydání = 2019 [164] => | počet_stran = 436 [165] => | isbn = 978-80-7378-392-1 [166] => }} [167] => * {{Citace monografie [168] => | příjmení = Hladík [169] => | jméno = Milan [170] => | titul = Lineární algebra (nejen) pro informatiky [171] => | vydání = 1. [172] => | vydavatel = Matfyzpress [173] => | místo = Praha [174] => | rok vydání = 2019 [175] => | počet_stran = 328 [176] => | strany = 39 [177] => | isbn = 978-80-7378-378-5 [178] => }} [179] => * {{Citace elektronické monografie [180] => | příjmení = Olšák [181] => | jméno = Petr [182] => | titul = Lineární algebra [183] => | url = http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf [184] => | místo = Praha [185] => | datum vydání = 2007 [186] => | datum přístupu = 2023-02-20 [187] => }} [188] => * {{Citace elektronické monografie [189] => | příjmení1 = Motl [190] => | jméno1 = Luboš [191] => | příjmení2 = Zahradník [192] => | jméno2 = Miloš [193] => | titul = Pěstujeme lineární algebru [194] => | url = https://matematika.cuni.cz/zahradnik-pla.html [195] => | datum přístupu = 2023-02-20 [196] => }} [197] => [198] => === Související články === [199] => [200] => * [[Adjungovaná matice]] [201] => * [[Determinant]] [202] => * [[Inverzní matice]] [203] => * [[Podmatice]] [204] => [205] => {{Autoritní data}} [206] => [207] => {{Portály|Matematika}} [208] => [209] => [[Kategorie:Teorie matic]] [] => )
good wiki

Subdeterminant

Subdeterminanty matice: zeleně je vyznačena podmatice odpovídající (druhému) minoru řádu 3 a hodnoty 16, žlutě podmatice k hlavnímu minoru řádu 2 hodnoty -7 a purpurově podmatice k vedoucímu hlavnímu minoru hodnoty 4. V lineární algebře je subdeterminant nebo též minor matice \boldsymbol{A} determinantem podmatice, která byla z matice \boldsymbol{A} získána odstraněním některých řádků a sloupců.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'Determinant','inverzní matice','Adjungovaná matice','Regulární matice','Podmatice','adjungovaná matice','Podmnožina','Násobení matic','Hermitovská matice','Komutativní těleso','Hodnost matice','Gaussova eliminační metoda'

Determinant

Podmnožina