Array ( [0] => 15490819 [id] => 15490819 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Supremum [uri] => Supremum [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => Supremum je matematický pojem, který se používá v oboru reálné analýzy, teorie uspořádání a funkcionální analýzy. Označuje nejmenší horní mez množiny, tedy takové číslo, které je větší nebo rovno všem prvkům dané množiny. Formálně se hovoří o supremu množiny A, pokud existuje takové reálné číslo b, které je horní mezí množiny A, a zároveň je menší nebo rovno všem horním mezím této množiny. Pojem supremum je důležitý pro definici limit, spojitosti funkcí a řady. Supremum je také úzce spojené s pojmem infimum, který označuje největší dolní mez množiny. Spolu tvoří tzv. úplné uspořádání reálné číselné osy. V článku je nejprve stručně popsán pojem supremum a jeho vlastnosti. Dále jsou zmíněny příklady aplikací tohoto pojmu v matematice. Poté jsou diskutovány některé základní věty, které se týkají suprem a infim, například Weierstrassova věta a Bolzanova–Cauchyova věta. Nakonec je pojednáno o některých zobecněních pojmu supremum pro místo reálných čísel používající se například v teorii uspořádání. [oai] => Supremum je matematický pojem, který se používá v oboru reálné analýzy, teorie uspořádání a funkcionální analýzy. Označuje nejmenší horní mez množiny, tedy takové číslo, které je větší nebo rovno všem prvkům dané množiny. Formálně se hovoří o supremu množiny A, pokud existuje takové reálné číslo b, které je horní mezí množiny A, a zároveň je menší nebo rovno všem horním mezím této množiny. Pojem supremum je důležitý pro definici limit, spojitosti funkcí a řady. Supremum je také úzce spojené s pojmem infimum, který označuje největší dolní mez množiny. Spolu tvoří tzv. úplné uspořádání reálné číselné osy. V článku je nejprve stručně popsán pojem supremum a jeho vlastnosti. Dále jsou zmíněny příklady aplikací tohoto pojmu v matematice. Poté jsou diskutovány některé základní věty, které se týkají suprem a infim, například Weierstrassova věta a Bolzanova–Cauchyova věta. Nakonec je pojednáno o některých zobecněních pojmu supremum pro místo reálných čísel používající se například v teorii uspořádání. [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => '''Supremum''' (někdy též ''spojení'') je [[Matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie uspořádání]], který je často používán především při zkoumání vlastností [[Reálné číslo|reálných čísel]]. Supremum je zaváděno jako alternativa k pojmu [[největší prvek]], oproti největšímu prvku je však dohledatelné u více množin – například omezené otevřené intervaly reálných čísel nemají největší prvek, ale mají supremum. [1] => [2] => [[Dualita pojmů|Duálním pojmem]] (opakem) suprema je [[infimum]]. [3] => [4] => == Obecná definice == [5] => Předpokládejme, že množina X je [[uspořádání|uspořádána]] [[Binární relace|relací]] R. O prvku a \isin X řekneme, že je '''supremum''' [[podmnožina|podmnožiny]] Y \subseteq X, pokud je to [[nejmenší prvek]] množiny všech [[horní závora|horních závor]] množiny Y. Tuto skutečnost značíme [6] => :a = \sup_R(Y). [7] => [8] => == Supremum v množině reálných čísel == [9] => Supremum má každá [[omezená množina|shora omezená množina]], přestože ne každá má [[maximum]] (největší prvek). Například otevřený [[interval (matematika)|interval]] I = (a,b) maximum nemá (pro každé c \in I můžeme nalézt d:c < d < b), ovšem jeho supremem je právě b (jde o nejmenší horní závoru a jakékoliv větší číslo již nejmenší horní závorou není — lze argumentovat podobně jako u maxima). [10] => [11] => Shora neomezené množiny supremum nemají. Například otevřený interval I = (a, +\infty) nemá supremum v množině \mathbb{R} všech reálných čísel. [12] => [13] => Pokud má množina [[maximum]] M má i supremum K, pro které platí, že K = M. [14] => [15] => == Obecné vlastnosti a další příklady == [16] => [17] => === Vztah suprema a největšího prvku === [18] => Nejen na množině reálných čísel, ale obecně na všech množinách, je supremum zobecněním pojmu největšího prvku. Pokud má množina největší prvek, je tento největší prvek zároveň jejím supremem. Naopak to však platit nemusí — prvním takovým příkladem je výše uvedený shora omezený otevřený interval na množině reálných čísel. [19] => [20] => Pokud supremum existuje, pak je určeno jednoznačně — množina nemůže mít dvě různá suprema. To je dáno tím, že nejmenší prvek (tedy i nejmenší prvek množiny horních závor — supremum) je v případě, že existuje, jednoznačně určen. [21] => [22] => === Supremum podle dělitelnosti === [23] => Uvažujme o množině \mathbb{Z}^+ všech kladných celých čísel a relaci R danou vztahem a \leq_R b \Leftrightarrow a | b (tj. číslo a je menší nebo rovné číslu b podle R, pokud číslo a dělí číslo b). [24] => [25] => Každá konečná podmnožina \mathbb{Z}^+ má supremum. Supremem je v tomto případě [[nejmenší společný násobek]]. Zdaleka ne každá množina má ale největší prvek, například \{ 4,6,8 \} \subseteq \mathbb{Z}^+ nemá největší prvek, protože neplatí ani 6 \leq_R 8, ani 8 \leq_R 6. Přitom ale \sup_R \{ 4,6,8 \} = 24. [26] => [27] => === Supremum na množině racionálních čísel === [28] => Jak již bylo uvedeno výše, má každá shora omezená množina reálných čísel supremum. Zdálo by se, že množina \mathbb{Q} [[Racionální číslo|racionálních čísel]] je množině reálných čísel hodně podobná — je také [[Husté uspořádání|hustě uspořádaná]] podle velikosti. Přesto ale existují shora omezené množiny racionálních čísel, které nemají (v množině racionálních čísel) supremum. [29] => [30] => Příkladem takové množiny je [31] => : \{ x \isin \mathbb{Q} : x^2 < 2 \}. [32] => Dá se poměrně snadno ověřit, že v množině \mathbb{Q} nemá tato množina supremum. Pokud bychom uvažovali o supremu této množiny v rámci všech reálných čísel, dopadlo by to o něco lépe — supremem by byla odmocnina ze dvou. [33] => [34] => === Supremum na ordinálních číslech === [35] => Uvažujme o [[Třída (matematika)|třídě]] \mathbb{O}n všech [[ordinální číslo|ordinálních čísel]]. Ordinální čísla jsou [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádána]] — to znamená, že každá [[podmnožina]] má [[nejmenší prvek]] a tím pádem i [[infimum]]. Zajímavější a na první pohled ne tak zjevné je, že každá shora omezená podtřída třídy \mathbb{O}n (shora omezená třída ordinálních čísel je vždy množina) má supremum, ale nemusí mít největší prvek. [36] => [37] => Například množina konečných ordinálních čísel \{ 0,1,2,\ldots \} nemá největší prvek, ale platí: [38] => : \sup \{ 0,1,2,\ldots \} = \omega. [39] => [40] => === Esenciální supremum === [41] => Mějme prostor s mírou \scriptstyle (X, \Sigma, \mu) a [[měřitelná funkce|\scriptstyle \mu-měřitelnou reálnou funkci]] \scriptstyle f na \scriptstyle X, tj. \scriptstyle f: X \to \mathbb{R}. '''Esenciální supremum''' funkce \scriptstyle f na množině \scriptstyle X pak značíme \scriptstyle \text{ess sup}_X f a definujeme vztahem [42] => : \text{ess sup}_X f = \inf \{ C \in \mathbb{R} | f(x) \leq C \ \text{pro} \ \mu\text{-skoro všechna } x \in X \}. [43] => Esenciální supremum je tedy [[infimum]] ze všech čísel \scriptstyle c takových, pro něž když vezmeme množinu všech \scriptstyle x \in X, v nichž nabývá funkce \scriptstyle f hodnoty větší než \scriptstyle c, tak tato množina bude míry nula (podle [[Míra (matematika)|míry]] \scriptstyle \mu). [44] => [45] => == Související články == [46] => * [[Infimum]] [47] => * [[Největší prvek]] [48] => * [[Maximální a minimální prvek|Maximální prvek]] [49] => * [[Dedekindův řez]] [50] => * [[Svaz (matematika)]] [51] => * [[Reálné číslo|Reálná čísla]] [52] => * [[Ordinální číslo|Ordinální čísla]] [53] => [54] => == Externí odkazy == [55] => * {{Commonscat}} [56] => [57] => {{Portály|Matematika}} [58] => [59] => [[Kategorie:Algebra]] [60] => [[Kategorie:Teorie uspořádání]] [] => )
good wiki

Supremum

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'infimum','maximum','podmnožina','nejmenší prvek','Reálné číslo','Racionální číslo','Kategorie:Algebra','Třída (matematika)','Svaz (matematika)','nejmenší společný násobek','Dedekindův řez','interval (matematika)'

Infimum

Infimum je v matematice označení pro nejmenší dolní závora množiny.

Kategorie:Algebra

Maximum

Podmnožina