Array ( [0] => 14658652 [id] => 14658652 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Trojúhelník [uri] => Trojúhelník [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => Trojúhelník je geometrický tvar, který je složen z tří stran a tří vrcholů. Je to jedna z nejzákladnějších geometrických forem, které jsou studovány v matematice. Trojúhelníky mohou mít různé tvary a velikosti, základní typy jsou však rovnostranný, rovnoramenný a obecný trojúhelník. V matematickém kontextu se trojúhelníky zkoumají zejména z hlediska jejich stran, úhlů, obsahů a vztahů mezi jednotlivými veličinami. Existuje mnoho definic a vět, které se vztahují k trojúhelníkům, například Pythagorova věta, která říká, že v pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnin délek odvěsen, nebo cosinová věta, která umožňuje vypočítat délku jedné strany trojúhelníku pomocí délek druhých dvou stran a jejich obsahu. Trojúhelníky mají široké uplatnění v praxi, například v architektuře, stavebnictví nebo při zpracování map. Jsou také důležité v oblasti trigonometrie, která se zabývá vztahy mezi úhly a stranami trojúhelníků. Trigonometrie je základní součástí matematické analýzy a slouží například při řešení rovnic a optimalizaci funkcí. Trojúhelníky jsou studovány také ve spojitosti s dalšími geometrickými tvary, jako jsou čtyřúhelníky, kruhy nebo mnohoúhelníky. Jejich vlastnosti a vztahy jsou důležité pro porozumění geometrickým útvarům a jejich aplikacím v reálném světě. [oai] => Trojúhelník je geometrický tvar, který je složen z tří stran a tří vrcholů. Je to jedna z nejzákladnějších geometrických forem, které jsou studovány v matematice. Trojúhelníky mohou mít různé tvary a velikosti, základní typy jsou však rovnostranný, rovnoramenný a obecný trojúhelník. V matematickém kontextu se trojúhelníky zkoumají zejména z hlediska jejich stran, úhlů, obsahů a vztahů mezi jednotlivými veličinami. Existuje mnoho definic a vět, které se vztahují k trojúhelníkům, například Pythagorova věta, která říká, že v pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnin délek odvěsen, nebo cosinová věta, která umožňuje vypočítat délku jedné strany trojúhelníku pomocí délek druhých dvou stran a jejich obsahu. Trojúhelníky mají široké uplatnění v praxi, například v architektuře, stavebnictví nebo při zpracování map. Jsou také důležité v oblasti trigonometrie, která se zabývá vztahy mezi úhly a stranami trojúhelníků. Trigonometrie je základní součástí matematické analýzy a slouží například při řešení rovnic a optimalizaci funkcí. Trojúhelníky jsou studovány také ve spojitosti s dalšími geometrickými tvary, jako jsou čtyřúhelníky, kruhy nebo mnohoúhelníky. Jejich vlastnosti a vztahy jsou důležité pro porozumění geometrickým útvarům a jejich aplikacím v reálném světě. [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{Různé významy|tento=[[geometrie|geometrii]]}} [1] => [2] => '''Trojúhelník''' (symbol △) je základní [[geometrický útvar]], který má tři [[Vrchol (geometrie)|vrcholy]] a tři [[Strana (geometrie)|strany]]. V [[Eukleidovská geometrie|euklidovské geometrii]] jakékoliv tři [[Bod|body]] neležící v jedné [[Přímka|přímce]] určují právě jeden trojúhelník a právě jednu [[Rovina|rovinu]] v dvourozměrném [[Eukleidovský prostor|euklidovském prostoru]] ([[2D]]). Trojúhelník s vrcholy A, B, C označujeme \triangle ABC, proti vrcholům leží strany ''a'', ''b'', ''c'', [[Vnitřní úhel|vnitřní úhly]] označujeme řeckými písmeny ([[Alfa|α]], [[Beta|β]], [[Gama|γ]]). Součet vnitřních úhlů takového trojúhelníku je roven 180[[stupeň (úhel)|°]] (tj. [[radián|π]] v obloukové míře). Pokud není uvedeno jinak, týká se článek pouze Euklidovské geometrie a Euklidovské roviny. [3] => [4] => Mimo euklidovskou geometrii existuje [[sférický trojúhelník]] na [[Sféra (matematika)|kulové ploše]] (např. dostatečně velký trojúhelník vyznačený na povrchu zeměkoule), který má součet velikostí vnitřních úhlů vždy větší než 180° a trojúhelník v [[Lobačevského geometrie|hyperbolické (Lobačevského) rovině]] (tj. trojúhelník na vnitřním povrchu koule) vždy menší než 180°. [5] => [6] => == Základní pojmy == [7] => [[Soubor:Triangle - angles, vertices, sides.svg|thumb|Trojúhelník ''ABC'' s vrcholy ''A'', ''B'', ''C'' a stranami ''a'', ''b'', ''c'']] [8] => [[Soubor:Triangle - angles.svg|thumb|Vnitřní úhly: ''α, β, γ''
vnější úhly: ''α’'', ''β’'', ''γ’'' a ''α’’'', ''β’’'', ''γ’’'']] [9] => [10] => [[úsečka|Úsečky]], které spojují [[vrchol (geometrie)|vrcholy]], se nazývají [[strana (geometrie)|strany]] trojúhelníku. [[Úhel|Úhly]], které svírají strany, se nazývají ''vnitřní úhly'' trojúhelníku. Vedlejší úhly k vnitřním úhlům se nazývají ''vnější úhly'' trojúhelníka (u každého vrcholu jsou dva, vnější úhel je doplněk vnitřního úhlu do 180°).{{Citace elektronické monografie [11] => | příjmení = Krynický [12] => | jméno = Martin [13] => | titul = Vnitřní a vnější úhly trojúhelníku I. [14] => | url = http://www.realisticky.cz/ucebnice/03%20Matematika%20Z%C5%A0/01%206.%20ro%C4%8Dn%C3%ADk/05%20%C3%9Ahel/15%20Vnit%C5%99n%C3%AD%20a%20vn%C4%9Bj%C5%A1%C3%AD%20%C3%BAhly%20troj%C3%BAheln%C3%ADku%20I.pdf [15] => | vydavatel = Realisticky.cz [16] => | datum vydání = 2013-04-03 [17] => | datum přístupu = 2023-03-06 [18] => }} Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů. Trojúhelník nemá [[úhlopříčka|úhlopříčky]]. [19] => [20] => Označíme-li vrcholy trojúhelníka velkými tiskacími písmeny A, B, C, pak trojúhelník označujeme jako \triangle ABC. Takový trojúhelník má strany označené malými písmeny ''a'', ''b'', ''c'' tak, že stejnojmenná strana leží vždy proti stejně označenému vrcholu (tj. proti vrcholu A leží strana ''a'', proti vrcholu B leží strana ''b'' atd.). Vnitřní úhly se označují popořadě [[Řecké písmo|řeckými písmeny]] (tj. u vrcholu A leží vnitřní úhel [[Alfa|α]], u vrcholu B leží [[Beta|β]], u vrcholu C leží [[Gama|γ]]). Podobně se postupuje při označení trojúhelníka jinými písmeny, např. \triangle KLM. Při označení trojúhelníka má význam pořadí stran (jedná se obvykle o různé trojúhelníky), což se využívá například u [[Podobnost (geometrie)|podobnosti trojúhelníků]]. [21] => [22] => === Druhy trojúhelníků === [23] => [[Eukleidés]] napsal již před dvěma tisíci lety knihu [[Eukleidovy Základy|Základy]], kde popisuje trojúhelník jako jeden ze základních geometrických elementů. Druhy trojúhelníků jsou od té doby buď přímými překlady z řečtiny nebo latiny. [24] => [25] => ==== Podle stran ==== [26] => Euklidés definoval podle délky stran tři druhy trojúhelníků: [27] => * Obecný trojúhelník (též ''různostranný'') – žádné dvě strany nejsou [[Shodné zobrazení|shodné]] ({{Vjazyce2|el|σκαληνὸν}}, čti ''{{IPA|skalinón}}'', znamená ''nestejné'') [28] => * [[Rovnoramenný trojúhelník]] – dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou shodné s třetí stranou ({{Vjazyce2|el|ἰσοσκελὲς}}, čti ''{{IPA|isoskelés}}'', znamená ''stejné nohy'') [29] => * [[Rovnostranný trojúhelník]] – všechny strany jsou shodné ({{Vjazyce2|el|ἰσόπλευρον}}, čti ''{{IPA|isópleuron}}'', znamená ''stejné strany'') [30] => [31] => {| [32] => |- style="text-align:bottom" [33] => | [[Soubor:Triangle.Scalene.svg|245px|Obecný trojúhelník]] [34] => | [[Soubor:Triangle.Equilateral.svg|100px|Rovnostranný trojúhelník]] [35] => | [[Soubor:Triangle.Isosceles.svg|75px|Rovnoramenný trojúhelník]] [36] => |- align="center" [37] => ! Obecný [38] => ! Rovnostranný [39] => ! Rovnoramenný [40] => |} [41] => [42] => ==== Podle úhlů ==== [43] => * [[Ostroúhlý trojúhelník]] – všechny vnitřní úhly jsou ostré [44] => * [[Pravoúhlý trojúhelník]] – jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré [45] => * [[Tupoúhlý trojúhelník]] – jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré [46] => [47] => {| [48] => |- style="text-align:bottom" [49] => | [[Soubor:Triangle.Acute.svg|Ostroúhlý trojúhelník]] [50] => | [[Soubor:Triangle.Right.svg|Pravoúhlý trojúhelník]] [51] => | [[Soubor:Triangle.Obtuse.svg|Tupoúhlý trojúhelník]] [52] => |- align="center" [53] => ! Ostroúhlý [54] => ! Pravoúhlý [55] => ! Tupoúhlý [56] => |} [57] => [58] => == Obvod a obsah == [59] => Obvod trojúhelníku ''o'' vypočteme jako součet všech jeho stran: [60] => [61] => :o = a + b + c , kde a, b, c jsou strany trojúhelníku [62] => [63] => [[Obsah]] trojúhelníku ''S'' se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky: [64] => [65] => :S = v_a \cdot{a \over 2}={v_a\cdot a \over 2}, kde v_a je výška příslušná straně ''a'' [66] => [67] => Pokud není známá příslušná výška, je možné obsah trojúhelníku vypočítat podle [[Heronův vzorec|Heronova vzorce]] [68] => [69] => : s = {o \over 2}, kde o je obvod trojúhelníku [70] => [71] => : S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} [72] => [73] => Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice opsané (r): [74] => [75] => :S=\frac{abc}{4r}=2r^2 \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma [76] => [77] => Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice vepsané (\rho): [78] => [79] => :S=\frac{a+b+c}{2}\rho [80] => [81] => Obsah trojúhelníku pomocí vnitřního úhlu: [82] => [83] => :S=\frac{1}{2}ab\,\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\,\sin\beta=\frac{1}{2}bc\,\sin\alpha [84] => [[Soubor:Trojúhelník ABC-D.jpg|náhled|Trojúhelník_ABC-D]] [85] => Obsah obecného trojúhelníku v rovině kde (ax,ay), (bx,by), (cx,cy) jsou souřadnice vrcholů (vychází z vektorového součinu, použití hlavně v grafice): [86] => [87] => :S=\frac{1}{2}|(c_x - a_x)(b_y - a_y) - (c_y - a_y)(b_x - a_x)| [88] => nebo: [89] => :S=\frac{1}{2}|[a_x (c_y - b_y) + b_x(a_y - c_y)+c_x(b_y - a_y)]| [90] => [91] => Použije-li se předcházející vzorec bez absolutní hodnoty, lze jej využít pro ověření zda bod (dx,dy) leží uvnitř trojúhelníku ABC. V případě, že leží, tak [[Funkce signum|znaménka]] obsahů všech čtyř trojúhelníků ABC, ABD, BCD a CAD jsou stejná. Leží-li vně, nemají všechny obsahy stejné znaménko. To je kladné, obíhájí-li vrcholy ve směru hodinových ručiček. [92] => [93] => == Věty o trojúhelníku == [94] => V [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlém trojúhelníku]] platí: [95] => [96] => * [[Pythagorova věta]] (c² = a² + b²) [97] => [98] => * [[Eukleidova věta o výšce|Euklidova věta o výšce]] [99] => V jakémkoliv obecném trojúhelníku platí: [100] => [101] => * [[sinová věta]] [102] => * [[kosinová věta]] (zobecnění [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]] na nepravoúhlý trojúhelník) [103] => * [[tangentová věta]] [104] => [105] => == Vlastnosti trojúhelníku == [106] => [107] => === Trojúhelníková nerovnost === [108] => ''[[Strana (geometrie)|Strany]]'' trojúhelníku splňují větu o [[trojúhelníková nerovnost|trojúhelníkové nerovnosti]]. Součet dvou libovolných stran trojúhelníku je vždy ''delší'' než strana třetí, neboli: [109] => [110] => :''a'' + ''b'' > ''c'' [111] => :''a'' + ''c'' > ''b'' [112] => :''b'' + ''c'' > a [113] => :|a - b| < c [114] => :|a - c| < b [115] => :|b - c| < a [116] => [117] => === Součet úhlů === [118] => Součet všech ''vnitřních úhlů'' je v každém trojúhelníku 180°. Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°. Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. Proti většímu úhlu leží větší strana. [119] => [120] => :''α'' + ''α’'' = ''β'' + ''β’'' = ''γ'' + ''γ’'' = 180° [121] => [122] => :''α'' + ''β'' = ''γ’'' [123] => :''α'' + ''γ'' = ''β’'' [124] => :''β'' + ''γ''= ''α’'' [125] => [126] => :''α'' + ''β'' + ''γ'' = 180° [127] => :''α’'' + ''β’'' + ''γ’'' = 360° [128] => [129] => :\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2} [130] => :\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2} [131] => :\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = 2(1+\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma ) [132] => :\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 - 2 \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma [133] => [134] => Zavedeme-li veličinu s = \frac{1}{2}(a+b+c), pak lze velikosti vnitřních úhlů určit ze vztahů [135] => :\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} [136] => :\sin\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ac}} [137] => :\sin\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}} [138] => :\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} [139] => :\cos\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}} [140] => :\cos\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}} [141] => [142] => === Souměrnost === [143] => Obecný trojúhelník není [[Osová souměrnost|osově]] ani [[Středová souměrnost|středově souměrný]], některé druhy trojúhelníků mohou být [[osová souměrnost|osově souměrné]] např.: rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník. [144] => === Výška === [145] => [[Soubor:VyskyTrojuhelnika.jpg|right|Výška trojúhelníku]] [146] => [147] => Výška je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem na protější stranu, resp. přímku na níž protější strana leží (nebo, stručněji řečeno, kolmice z vrcholu na protější stranu, resp. přímku na níž protější strana leží). Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá ''pata výšky''. Každý trojúhelník má tři výšky. [148] => [149] => Přímky, na nichž leží výšky, se protínají v jednom bodě, který se nazývá ''ortocentrum''. Ortocentrum leží buď uvnitř trojúhelníku, pokud je ostroúhlý, nebo u pravoúhlého trojúhelníka splývá s jeho vrcholem, při němž je pravý úhel, anebo leží vně, je-li to trojúhelník tupoúhlý. [150] => [151] => Spojnice jednotlivých pat výšek tvoří [[ortický trojúhelník]]. Pravoúhlý trojúhelník svůj ortický trojúhelník nemá, protože jeho dvě paty výšek splývají. [152] => [153] => Ortocentrum tupoúhlého trojúhelníku je středem jedné z [[kružnice připsaná|kružnic připsaných]] jeho ortickému trojúhelníku. [154] => [155] => Výšky se označují malým písmenem ''v'' s dolním indexem příslušné strany. [156] => [157] => Pro výšky trojúhelníku platí: v_a:v_b:v_c = \frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}, čili: [158] => v_a.a=v_b.b=v_c.c=2S, kde S je plocha trojúhelníka. [159] => [160] => Velikosti výšek jsou určeny vztahy [161] => :v_a = b\sin\gamma = c\sin\beta [162] => :v_b = a\sin\gamma = c\sin\alpha [163] => :v_c = a\sin\beta = b\sin\alpha [164] => [165] => === Těžnice === [166] => [[Soubor:TezniceTrojuhelnika.jpg|right|Těžnice trojúhelníku]] [167] => [168] => [[Těžnice]] je úsečka, jejímiž krajními body jsou střed strany a protilehlý vrchol trojúhelníku. Každý trojúhelník má tři těžnice. Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá [[těžiště]]. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1, přitom vzdálenost těžiště od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva díly se ''stejným obsahem''. Těžnice se označují malým písmenem ''t'' s dolním indexem příslušné strany, těžiště se označuje písmenem ''T''. Těžiště a dva vrcholy trojúhelníku tvoří postupně tři trojúhelníky (ABT, ACT, CBT), všechny tři mají ''stejný obsah''. [169] => [170] => Souřadnice těžiště lze vypočítat ze souřadnic bodů ''A'',''B'',''C'' podle vztahu: [171] => :T = \frac{A+B+C}{3}. [172] => [173] => Délky těžnic jsou [174] => :t_a = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}, [175] => :t_b = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}, [176] => :t_c = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}. [177] => [178] => === Střední příčka === [179] => [[Soubor:StredniPrickyTrojuhelnika.jpg|right|Střední příčka trojúhelníku]] [180] => [181] => ''Střední příčka'' je spojnice středů dvou stran (dvou ''pat těžnic''). Každý trojúhelník má tři střední příčky. Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky – ''příčkový trojúhelník'' a tři trojúhelníky při jednotlivých vrcholech. Těžiště trojúhelníku je zároveň těžištěm jeho příčkového trojúhelníku. Střední příčky se označují malým písmenem ''s''. [182] => [183] => === Symediána === [184] => Symediána je osově souměrný obraz těžnice podle osy příslušného úhlu (např. symediána těžnice z vrcholu ''A'' podle osy úhlu při vrcholu ''A''). Každý trojúhelník má tři symediány. Všechny symediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který se nazývá [[Lemoinův bod]]. Lemoinův bod leží uvnitř trojúhelníku a platí pro něj, že má ze všech vnitřních bodů trojúhelníku nejmenší součet čtverců vzdáleností od stran trojúhelníku. Pokud Lemoinovým bodem vedeme rovnoběžky s jednotlivými stranami, všechny průsečíky těchto rovnoběžek se stranami (je jich šest) leží na kružnici, která se nazývá [[Lemoinova kružnice|první Lemoinova kružnice]]. Střed první Lemoinovy kružnice je středem úsečky spojující Lemoinův bod a střed kružnice opsané. [185] => [186] => === Osy úhlů === [187] => [[Soubor:trojuhelnik_osy.svg|thumb|Výška, osa úhlu a těžnice v trojúhelníku.]] [188] => ''Osa vnitřního úhlu'' dělí na polovinu vnitřní úhel a současně protější stranu dělí v poměru délek přilehlých stran. Osa vnějšího úhlu dělí na polovinu vnější úhel. Na [[:Soubor:trojuhelnik_osy.svg|obrázku]] je osa vnitřního úhlu o_c, osa vnějšího úhlu o_c^\prime a také těžnice t_c a výška v_c z vrcholu C. Podobně lze získat osy i u ostatních vrcholů. [189] => [190] => === Třetiny úhlů === [191] => [[Soubor:Morley triangle.svg|thumb|[[Morleyův trojúhelník]] je rovnostranný. Vytváří ho přímky dělící vnitřní úhly na třetiny.]] [192] => Pokud jednotlivé vnitřní úhly rozdělíme přímkami na tři stejné díly ([[trisekce úhlu]]), průsečíky těchto přímek (vždy těch dvou, které jsou bližší dané straně trojúhelníku) vždy tvoří rovnostranný trojúhelník (''Morleyova věta''). [193] => [194] => === Osy stran === [195] => ''Osa strany'' je kolmice vedená ze středu strany. Osy stran se protínají v jednom bodě (tento bod má stejnou vzdálenost od všech tří vrcholů trojúhelníka). [196] => [197] => === Eulerova přímka === [198] => [[Eulerova přímka]] je přímka, která prochází těžištěm a ortocentrem a středem [[Kružnice opsaná|opsané kružnice]]. Na Eulerově přímce leží i střed [[kružnice opsaná|kružnice opsané]] a střed [[kružnice devíti bodů]]. V rovnostranném trojúhelníku těžiště a ortocentrum splývají, takový trojúhelník Eulerovu přímku nemá. [199] => [200] => === Gaussova přímka === [201] => [[Soubor:Gauss line with description.svg|náhled|Gaussova přímka ''g'' se odvozuje popsaným způsobem od trojúhelníku ''ABC'' a přímky ''p.'']] [202] => Pokud přímka ''p'' protíná přímky, na nichž leží strany obecného trojúhelníku, v bodech ''X, Y, Z,'' pak středy úseček ''AX, BY, CZ'' leží na přímce. Tato přímka ''g'' se nazývá ''Gaussova přímka''. [203] => [204] => === Kružnice opsaná === [205] => [[Soubor:KruzniceOpsanaTrojuhelniku.jpg|thumb|Opsaná kružnice]] [206] => [[Kružnice opsaná]] trojúhelníku je [[kružnice]], která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. ''Střed'' kružnice opsané leží v ''průsečíku os stran'', [[poloměr]] se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Spojnice středu kružnice opsané a jednotlivých vrcholů trojúhelníku jsou kolmé k jednotlivým stranám jeho ortického trojúhelníku (tzv. ''Nagelova věta''). [207] => [208] => Velikost [[poloměr]]u opsané [[kružnice]] určuje vztah [209] => :r = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}. [210] => [211] => === Kružnice vepsaná === [212] => [[Soubor:KruzniceVepsanaTrojuhelniku.jpg|thumb|Vepsaná kružnice]] [213] => [[Kružnice vepsaná]] trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku [[Úhel#Souměrnost|os vnitřních úhlů]], ''poloměr'' se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany. [214] => [215] => Pro poloměr kružnice vepsané platí [216] => :\rho = \frac{1}{2}(a+b+c) \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \operatorname{tg}\frac{\beta}{2} \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2} = \frac{S}{s}. [217] => [218] => Vzdálenost mezi středy kružnice vepsané a opsané je [219] => :d = \sqrt{r^2 - 2r\rho}. [220] => [221] => === Kružnice připsaná === [222] => [[Kružnice připsaná]] trojúhelníku je kružnice, která se dotýká jedné strany trojúhelníku a dvou přímek, které jsou prodloužením zbývajících stran trojúhelníku. Střed kružnice připsané leží v průsečíku osy jednoho vnitřního úhlu a dvou vedlejších úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Každý trojúhelník má tři kružnice připsané. [223] => [224] => === Kružnice devíti bodů === [225] => {{podrobně|Kružnice devíti bodů}} [226] => Na kružnici devíti bodů leží středy stran, paty výšek a středy spojnic vrcholů se společným průsečíkem výšek. Také se dotýká kružnice vepsané a kružnic připsaných. [227] => [228] => == Konstrukce trojúhelníku == [229] => {{podrobně|Konstrukce trojúhelníku}} [230] => Trojúhelník může být určen: [231] => * (sss) délkou všech tří stran, [232] => * (sus) délkou dvou stran a velikostí úhlu, který svírají, [233] => * (usu) délkou strany a velikostí úhlů, které k ní přiléhají, [234] => * (Ssu) délkou dvou stran a velikostí úhlu proti větší z nich.{{Citace elektronického periodika [235] => | titul = Konstrukce trojúhelníků: věty sss, sus, usu, Ssu – Procvičování online – Umíme matiku [236] => | periodikum = www.umimematiku.cz [237] => | url = https://www.umimematiku.cz/cviceni-konstrukce-trojuhelniku-vety-sss-sus-usu-ssu [238] => | jazyk = cs [239] => | datum přístupu = 2023-06-26 [240] => }} [241] => Ke konstrukci trojúhelníku se mohou použít i výšky, těžnice atd. [242] => [243] => == Odkazy == [244] => === Literatura === [245] => * {{Citace monografie [246] => | příjmení = Švrček [247] => | jméno = Jaroslav [248] => | odkaz na autora = Jaroslav Švrček (matematik) [249] => | příjmení2 = Vanžura [250] => | jméno2 = Jiří [251] => | titul = Geometrie trojúhelníka [252] => | vydavatel = Nakladatelství technické literatury [253] => | místo = Praha [254] => | rok = 1988 [255] => | isbn = [256] => | kapitola = [257] => | strany = [258] => }} [259] => [260] => === Reference === [261] => [262] => [263] => === Související články === [264] => * [[Pravoúhlý trojúhelník]] [265] => * [[Matematika]] [266] => * [[Geometrie]] [267] => * [[Planimetrie]] – rovinné geometrické útvary [268] => * [[Geometrický útvar]] [269] => * [[Věty o shodnosti trojúhelníku]] [270] => [271] => === Externí odkazy === [272] => * {{Commonscat}} [273] => * {{Wikislovník|heslo=trojúhelník}} [274] => * [https://web.archive.org/web/20161228073202/http://trig.wz.cz/ Výpočet úhlů a stran pravoúhlého trojúhelníku] [275] => * [http://www.matematika.webz.cz/ostatni/trojuhelnik/ Základní konstrukce v trojúhelníku] – flashová animace sestrojení výšek, těžnic, kružnic opsané a vepsané [276] => [277] => {{Mnohoúhelníky}} [278] => {{Autoritní data}} [279] => {{Portály|Matematika}} [280] => [281] => [[Kategorie:Trojúhelník| ]] [282] => [[Kategorie:Mnohoúhelníky]] [] => )
good wiki

Trojúhelník

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'Alfa','Gama','Strana (geometrie)','poloměr','Kružnice opsaná','kružnice','Pravoúhlý trojúhelník','Pythagorova věta','Beta','Tupoúhlý trojúhelník','Rovina','Osová souměrnost'

Alfa

Beta

Gama

Kružnice

Poloměr

Rovina