Array ( [0] => 15483514 [id] => 15483514 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Vektor [uri] => Vektor [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 1 [has_content] => 1 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{Různé významy|tento=matematickému pojmu}} [1] => [2] => V [[Matematika|matematice]] je '''vektor''' definován jako prvek [[Vektorový prostor|vektorového prostoru]]. V něm lze zavést bázi a dále [[Soustava souřadnic|souřadnice]] daného vektoru vzhledem k této bázi. Pokud je vektorový prostor konečnědimenzionální, souřadnice vektoru tvoří [[uspořádaná n-tice|uspořádané ''n''-tice]] [[číslo|čísel]], označovaných jako ''složky'' (též ''komponenty'') ''vektoru''. Speciálně, pokud se za vektorový prostor volí [[kartézský součin]] množin [[reálná čísla|reálných]] či [[komplexní čísla|komplexních čísel]], tj. pokud je za vektorový prostor bráno \mathbb{R}^n či \mathbb{C}^m pro nějaká [[přirozené číslo|přirozená čísla]] n a m, tak se jeho prvky nazývají '''aritmetické vektory'''. [3] => [4] => '''Vektor''' představuje ve [[Fyzika|fyzice]] a [[vektorový počet|vektorovém počtu]] veličinu, která má kromě [[velikost]]i i [[směr (fyzika)|směr]]. Tím se liší od obyčejného [[Číslo|čísla]], neboli [[skalár]]u, které má pouze velikost. [5] => [6] => Příkladem vektoru je [[síla]] — má velikost a směr, a více sil se skládá dohromady podle [[skládání sil|zákona o skládání sil]] - [[rovnoběžník]]ového pravidla. Vektory se ve fyzice obvykle popisují pomocí složek (souřadnic), které ovšem závisí na volbě souřadnicových os. [7] => [8] => == Definice == [9] => Neformálně je '''vektor''' veličina charakterizovaná [[velikost]]í (v matematice číslem, ve fyzice počtem jednotek) a [[směr]]em. Často je [[Reprezentace vektoru|reprezentovaná]] graficky jako šipka. Příkladem je „Pohyb na sever rychlostí 90 km/hod“ nebo „Přitahován ke středu Země silou 70 [[newton]]ů“. [10] => [11] => Ve fyzice se vektory obvykle zapisují v souřadnicích. Aby byl vektor dobře definován, požaduje se následující vlastnost: jestliže si zvolím novou souřadnicovou soustavu a měřím body v prostoru v novém souřadném systému, pak souřadnice vektoru se změní podle stejného vzorce jak souřadnice bodů v prostorů. Tato vlastnost se nazývá kovariance vůči změně (prostorových) souřadnic ("stejná" změna jeho souřadnic, nové se počítají podle stejného pravidla jako souřadnice polohy). Tedy jestliže systém souřadnic podstoupí lineární transformaci popsanou vztahem x_i^\prime = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, pak složky libovolného vektoru \mathbf{v} se podobně transformují podle vztahu [12] => :v_i^\prime = \sum_{j=1}^n a_{ij} v_j, [13] => kde v_i jsou složky vektoru \mathbf{v} v původní soustavě souřadnic a v_i^\prime jsou složky vektoru \mathbf{v} v nové soustavě souřadnic. Tuto transformaci lze vyjádřit v maticovém zápisu jako \mathbf{v}^\prime = \mathbf{A}\cdot\mathbf{v}, kde \mathbf{A} je transformační [[matice]] se složkami a_{ij}. Někdy se požaduje invariance ne vůči všem lineárním transformacím, ale jen rotacím a zrcadlením (v klasické mechanice), nebo [[Lorentzova transformace|Lorentzovým transformacím]] (v [[speciální teorie relativity|speciální relativitě]]). [14] => [15] => Pokud není vektor vázán k žádnému pevnému [[bod]]u prostoru, tzn. pro jeho vyjádření je důležitý pouze jeho směr a velikost, pak hovoříme o '''volném vektoru'''. Pokud je daný vektor spojen s určitým bodem prostoru (t.j. má počátek), pak hovoříme o '''vázaném vektoru'''. [16] => [17] => Pokud je vektor definován v každém bodě prostoru, pak se hovoří o [[vektorové pole|vektorovém poli]]. [18] => [19] => V matematice se pod pojmem vektor obvykle rozumí prvek nějakého [[vektorový prostor|vektorového prostoru]]. Tyto prostory mohou být i nekonečněrozměrné, proto někdy má smysl mluvit, že i [[funkce (matematika)|funkce]] je vektor, anebo ''stav fyzikálního systému'' je vektor (v kvantové mechanice). [20] => [21] => === Pravý a axiální vektor === [22] => Jako '''pravý vektor''' označujeme takovou vektorovou veličinu, která se dá nějakým způsobem měřit nebo počítat za předpokladu pevně zvolené ortonormální souřadnicové soustavy a když se podle stejných pravidel změří nebo spočte v souřadnicové soustavě, která je vůči původní [[Otočení|otočená]] nebo [[prostorová inverze|zrcadlená]], vyjde nám „stejný“ vektor (t.j. jeho souřadnice se vůči původním změnily podle stejného vzorce jako souřadnice bodů v prostoru). Při zrcadlení os tedy pro pravý vektor platí [23] => :\mathbf{V}(-x_i) = \mathbf{V}(x_i), [24] => kde (-x_i) označuje souřadnicovou soustavu, která má opačnou [[Orientace (matematika)|orientaci]] jako (x_i) . [25] => [26] => Vektorovou veličinu, která se při rotacích transformuje stejně jako souřadnice, avšak při zrcadlení souřadnicových soustav mění znaménko, označujeme jako '''axiální vektor''' ('''nepravý vektor''' nebo '''pseudovektor'''). Při zrcadlení os tedy pro axiální vektor platí [27] => :\mathbf{V}(-x_i) = -\mathbf{V}(x_i). [28] => [29] => Matematicky se dá axiální vektor definovat jako prvek druhé [[vnější mocnina|vnější mocniny]] prostoru (v dimenzi 3), resp. obecněji jako prvek ''(n-1)''-ní vnější mocniny \wedge^{n-1} \mathbf{V} ''n''-rozměrného vektorového prostoru '''V'''. Za předpokladu volby skalárního součinu a orientace na '''V''' pak můžeme takový prvek ztotožnit s vektorem (prvkem '''V''') pomocí [[Hodgeova dualita|Hodgeovy duality]]. Znaménko výsledného vektoru pak závisí na volbě orientace. [30] => [31] => Příkladem pravého vektoru je [[polohový vektor]] \mathbf{r} nebo vektor [[rychlost]]i \mathbf{v}, axiálním vektorem je např. vektor [[úhlová rychlost|úhlové rychlosti]] \mathbf{\Omega}. Pseudovektory se často konstruují z pravých vektorů pomocí [[vektorový součin|vektorového součinu]] (je invariantní vůči rotacím, ale ne zrcadlením). [32] => [33] => == Reprezentace vektoru == [34] => Symboly pro vektory jsou obvykle tištěny tučně, jako '''a'''; to je také konvence použitá v této encyklopedii. Mezi další zvyklosti označování patří \vec{a} nebo {{podtržení|''a''}}, zvlášť při ručním psaní. Alternativně lze použít i ''ã''. [35] => [36] => Vektory se obvykle v grafech nebo jiných [[diagram]]ech označují jako orientované úsečky:
[[Soubor:VectorAB.svg|Grafická reprezentace vektoru.]]
[37] => Zde bod ''A'' se nazývá ''počáteční'', bod ''B'' ''koncový bod''. Délka šipky představuje velikost vektoru, šipka určuje jeho (orientovaný) směr. [38] => [39] => Vektory jsou také často vyjadřovány pomocí svých [[Souřadnicový zápis vektorů|složek]], např. a_i pro vektor \mathbf{a}. [40] => [41] => V pokročilejší matematické či fyzikální literatuře se pro vektory žádné speciální značení nepoužívá a jsou označovány stejně jako ostatní veličiny, popř. se používá složkový zápis. Např. místo \mathbf{a} se použije a_i nebo pouze a. [42] => [43] => [[Kvantová fyzika]] používá pro zápis vektoru tzv. [[Diracova symbolika|Diracovu symboliku]]. [44] => [45] => V [[diferenciální geometrie|diferenciální geometrii]] se vektor v dané [[Soustava souřadnic|souřadné soustavě]] často vyjadřuje pomocí operátorů [[parciální derivace|parciálních derivací]], tedy např. jako [46] => [47] => :\mathbf{A} = a_x \frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} x} + [48] => a_y \frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} y}+ [49] => a_z \frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} z}\;. [50] => [51] => S výhodou se využívá faktu, že při obecných transformacích souřadnic se vektory transformují stejně jako parciální derivace - pomocí [[řetízkové pravidlo|řetízkového pravidla]]. [52] => [53] => == Operace s vektory == [54] => [55] => === Sčítání vektorů === [56] => Pro dva vektory \mathbf{A}, \mathbf{B} ze stejného vektorového prostoru je definován [57] => jejich [[součet]] \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}. Pro složky vektorů platí [58] => C_i = A_i + B_i [59] => [60] => Pokud jsou dva vektory na sebe [[Ortogonalita|kolmé]], lze velikost výsledného vektoru určit [[Pythagorova věta|Pythagorovou větou]]. Výsledný vektor je možno reprezentovat graficky a to doplněním do vektorového rovnoběžníku (nechť je cíl výsledného vektoru bod C, počátek bod A, cíl vektoru 1 bod B a cíl vektoru 2 bod D. Úhlopříčka AC vektorového rovnoběžníku ABCD pak představuje výsledný vektor. Délka této vektorové úsečky je rovna velikosti výsledného vektoru.) [61] => [62] => === Násobení vektoru číslem === [63] => Pro libovolný vektor \mathbf{A} a číslo k je definován vektor k\mathbf{A} se složkami [64] => :k \cdot A_i. [65] => [66] => === Součin vektorů === [67] => [[Součin]] vektorů lze definovat různým způsobem. Používané součiny vektorů jsou [68] => * [[skalární součin]] [69] => * [[vektorový součin]] [70] => * [[smíšený součin]] [71] => * [[tenzorový součin]] [72] => [73] => === Vlastnosti vektorových operací === [74] => Mějme vektory \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} a [[skalár]]y a, b. Pak platí [[komutativita|komutativní zákon]] pro sčítání vektorů [75] => :\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A} [76] => [77] => Pro sčítání dvou vektorů platí [[asociativita|asociativní zákon]], tzn. [78] => :\mathbf{A} + (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = (\mathbf{A} + \mathbf{B}) + \mathbf{C} [79] => [80] => Platí také asociativní zákon pro násobení číslem, tedy [81] => :a(b \mathbf{A}) = (ab) \mathbf{A} [82] => [83] => Dále platí [[distributivita|distributivní zákony]] [84] => :(a+b) \mathbf{A} = a \mathbf{A} + b \mathbf{A} [85] => :a(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = a \mathbf{A} + a \mathbf{B} [86] => [87] => Existuje [[#Nulový vektor|nulový vektor]] \mathbf{0} splňující následující vztahy [88] => :\mathbf{A} + \mathbf{0} = \mathbf{A} [89] => :\mathbf{0}\cdot\mathbf{A} = \mathbf{0} [90] => :a \mathbf{0} = \mathbf{0} [91] => [92] => Ke každému vektoru \mathbf{A} existuje ''opačný vektor'' -\mathbf{A}, pro nějž platí [93] => :\mathbf{A} + (-\mathbf{A}) = \mathbf{0} [94] => :-(a \mathbf{A}) = (-a) \mathbf{A} = a (-\mathbf{A}) [95] => [96] => Pokud \mathbf{B} = \mathbf{A} + \mathbf{C}, pak [97] => :\mathbf{C} = \mathbf{B} + (-\mathbf{A}) = \mathbf{B} - \mathbf{A} [98] => [99] => Za [[lineární kombinace|lineární kombinaci]] dvou vektorů \mathbf{A}, \mathbf{B} je považován vektor \mathbf{C} = a \mathbf{A} + b \mathbf{B}, kde ''a'', ''b'' jsou libovolná [[číslo|čísla]], jehož složky jsou [100] => :C_i = a A_i + b B_i [101] => [102] => [103] => Dva [[lineární závislost|lineárně závislé]] vektory označujeme jako ''kolineární'' (''rovnoběžné''). Jsou-li dva vektory lineárně závislé, je jeden z nich násobkem druhého, oba tedy určují stejný směr v prostoru a jsou tedy rovnoběžné. [[Vektorový součin]] dvou kolineárních vektorů v \mathbb{R}^3 je nulový. [104] => [105] => Tři vzájemně lineárně závislé vektory označujeme jako ''komplanární''. Komplanární vektory leží v jedné rovině. [[Smíšený součin]] komplanárních vektorů v \mathbb{R}^3je nulový. [106] => [107] => Pro součiny vektorů v \mathbb{R}^3 platí důležité vztahy, jako je např. [[Jacobiho identita]] pro dvojitý vektorový součin, tzn. [108] => :\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) + \mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) + \mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 0. [109] => :Tato rovnost mj. ukazuje, že vektorové násobení není [[Asociativita|asociativní]]. [110] => [111] => Dále platí tzv. ''Lagrangeova identita'' [112] => :(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\cdot(\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{D}) - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{D})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}). [113] => [114] => Jejím speciálním případem je vztah [115] => :{(\mathbf{A} \times \mathbf{B})}^2 = {\mathbf{A}}^2 {\mathbf{B}}^2 - {(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}^2. [116] => [117] => [118] => Dalšími užívanými vztahy jsou [119] => :(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = [\mathbf{A}(\mathbf{B} \times \mathbf{D})]\mathbf{C} - [\mathbf{A}(\mathbf{B}\times \mathbf{C})]\mathbf{D} [120] => :\mathbf{A} \times [\mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D})] = (\mathbf{A} \times \mathbf{C})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{D}) - (\mathbf{A} \times \mathbf{D})(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) [121] => [122] => === Invariance operací === [123] => Sčítání vektorů je invariantní vůči všem lineárním zobrazením, tj. \mathbf{A}(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{A}\mathbf{y} pro nějakou lineární transformaci '''A''', přičemž '''x''' a '''y''' označují vektory. [124] => [125] => Vektorový součin dvou vektorů z \mathbb{R}^3 je invariantní vůči rotacím (ale ne zrcadlením). To znamená \mathbf{A}(\mathbf{v}\times \mathbf{w})=\mathbf{A}(\mathbf{v})\times \mathbf{A}(\mathbf{w}) pro libovolnou rotaci '''A'''. Znamená to, že vektorový součin je dobře definován i na abstraktním třírozměrném reálném vektorovém prostorů, pokud je na něm definován skalární součin a [[Orientace (matematika)|orientace]]. Vektorový součin dvou vektorů v prostoru je tedy dobře definován i „fyzikálně“, až na znaménko (je to ''pseudovektor''). [126] => [127] => Skalárni součin je invariantní vůči všem rotacím, ale navíc i zrcadlením (a nejen u třirozměrných reálných prostorových vektorů, ale i obecně.) [128] => [129] => Smíšený součin tří vektorů z \mathbb{R}^3 je invariantní vůči všem lineárním zobrazením, které zachovávají objem a nemění orientaci prostoru (množina takových zobrazení se standardně značí SL(3)). Znamená to opět, že při dané volbě orientace (fyzikálního) třírozměrného prostorů je smíšený součin 3 vektorů dobře definován, obecně jeho znaménko závisí na orientaci prostoru (je to [[skalár|pseudoskalár]]). [130] => [131] => === Úhel dvou vektorů === [132] => lze určit ze znalosti [[skalární součin|skalárního součinu]] a [[norma vektoru|norem]] obou nenulových vektorů (\|\mathbf{A}\| = \sqrt{\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}}) pomocí vztahu: [133] => :\cos\varphi = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|} [134] => [135] => === Další vektorové operace === [136] => Operace na vektorech: [137] => [138] => * [[norma vektoru]] [139] => * [[divergence]] [140] => * [[rotace (operátor)|rotace]] [141] => * [[Gradient (matematika)|gradient]] [[vektorové pole|vektorového pole]] [142] => [143] => == Zvláštní druhy vektorů == [144] => [145] => === Jednotkový vektor === [146] => '''Jednotkovým vektorem''' označujeme vektor '''e''' s jednotkovou normou, tzn. |\mathbf{e}|=1. [147] => [148] => Jednotkový vektor ve směru libovolného nenulového vektoru \mathbf{V} je určen vztahem [149] => :\mathbf{e} = \frac{\mathbf{V}}{|\mathbf{V}|} [150] => [151] => === Nulový vektor === [152] => '''Nulový vektor''' \mathbf{0} je zvláštním případem vektoru, který lze zapsat jako uspořádanou ''n''-tici (0,0,\cdots,0), tzn. všechny složky vektoru jsou [[nula|nulové]]. [153] => [154] => Norma nulového vektoru je rovna nule. [155] => [156] => Z hlediska fyzikálního nemá nulový vektor směr ani orientaci. [157] => [158] => === Tečný vektor === [159] => Je vektor vyskytující se na [[Varieta (matematika)|varietách]], který má počátek (t.j. pevný bod, z kterého vychází) a určuje rychlost pohybujícího se objektu, který daným bodem prochází. (Formálně se definuje tak, že hladké funkci přiřadí příslušnou směrovou derivaci). Ve fyzice se často pracuje s vektorovými poli na varietách. [160] => [161] => === Hermitovsky sdružený vektor === [162] => Vektor je obvykle vyjadřován jako sloupec s komponentami [163] => :\begin{pmatrix} [164] => a_1 \\ [165] => a_2 \\ [166] => \vdots \\ [167] => a_n\end{pmatrix} [168] => [169] => Hermitovské sdružení představuje aplikaci [[transponovaná matice|transpozice]] a [[komplexně sdružené číslo|komplexního sdružení]], čímž získáme ''hermitovsky sdružený vektor'' se složkami [170] => :(a_1^*, a_2^*, \cdots, a_n^*) [171] => [172] => == Související články == [173] => * [[Vektorový prostor]] [174] => * [[Vektorové pole]] [175] => * [[Vektorový počet]] [176] => * [[Vektorový součin]] [177] => * [[Vektorová grafika]] [178] => * [[Skalár]] [179] => * [[Tenzor]] [180] => * [[Čtyřvektor]] [181] => * [[Diracova notace]] [182] => * [[Souřadnicový zápis vektorů]] [183] => * [[Řídký vektor]] [184] => [185] => == Externí odkazy == [186] => * {{Commonscat}} [187] => [188] => {{Autoritní data}} [189] => {{Portály|Matematika}} [190] => [191] => [[Kategorie:Vektory| ]] [192] => [[Kategorie:Lineární algebra]] [193] => [[Kategorie:Fyzikální veličiny]] [] => )
good wiki

Vektor

V matematice je vektor definován jako prvek vektorového prostoru. V něm lze zavést bázi a dále souřadnice daného vektoru vzhledem k této bázi.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'skalár','norma vektoru','číslo','Vektorový prostor','Vektorový součin','velikost','vektorový součin','vektorové pole','Orientace (matematika)','skalární součin','Soustava souřadnic','Souřadnicový zápis vektorů'

Číslo

Skalár