Účinný průřez

Technology

12 hours ago

Author

Účinný průřez vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou bude některá ostřelující částice z nalétávajícího svazku interagovat s částicí terče. Za interakci lze považat například klasický odraz, Coulombický rozptyl (tedy rozptyl způsobený elektrickým polem) nebo jaderné či jiné reakce.

Značí se \sigma \;.

Účinný průřez je velmi důležitou veličinou při studiu srážek mikroskopických částic.

Celková pravděpodobnost interakce částic se označuje jako celkový (totální, integrální) účinný průřez. Tato veličina určuje, s jakou pravděpodobností bude dopadající částice rozptýlena do libovolného směru, případně s jakou pravděpodobností proběhne reakce. +more O vlastnostech interakce (a tedy i interagujících částic) však říká mnohem více diferenciální účinný průřez, který charakterizuje pravděpodobnosti rozptylu do jednotlivých směrů v prostoru.

Celkový účinný průřez

Celkový účinný průřez reakce se definuje jako :\sigma = \frac{R}{N \Gamma}, kde R [s^{-1}] je četnost reakcí, N [-] je počet částic terčíku a \Gamma [\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}] je tok ostřelujících částic. Účinný průřez má tedy jednotku m^{2}.

Pro model zahrnující pouze srážky pevných těles bez vlivu sil je účinný průřez shodný s reálným průřezem terčíkových částic. Reakce (odraz) nastane, narazí-li nalétavající částice do tohoto průřezu.

Větší význam má zavedení účinného průřezu, bude-li se počítat s elektromagnetickými, jadernými, či jinými interakcemi. Zde se již vytrácí analogie s klasickým průřezem a je třeba mít na zřeteli, že se jedná o pravděpodobnost reakce a tedy o statistickou veličinu.

Celkový účinný průřez lze také získat integrací diferenciálního účinného průřezu přes všechny rozptylové úhly \theta, tedy přes celý prostorový úhel, tzn. :\sigma = \int_\Omega \mathrm{d}\sigma \,

Diferenciální účinný průřez

Počet částic svazku, které dopadají na jednotkovou plochu kolmou k dopadajícímu svazku za jednotkový čas bývá označován jako proudová hustota j svazku. Různé částice svazku se k terčíkové částici přiblíží na různou vzdálenost (náměrná vzdálenost) a budou tedy rozptýleny do různých směrů, takže jejich rozptylové úhly budou odlišné. +more Srážkový parametr je vzdálenost částice svazku od osy svazku, která prochází silovým centrem (terčíkovou částicí). Označí-li se počet částic rozptýlených za časovou jednotku (jedním silovým centrem) do úhlu mezi \theta a \theta+\mathrm{d}\theta jako \mathrm{d}N, pak vzhledem k tomu, že každá částice dopadajícího svazku je rozptylována nezávisle a tedy \mathrm{d}N je úměrné proudové hustotě j, lze zavést diferenciální účinný průřez jako :\mathrm{d}\sigma = \frac{\mathrm{d}N}{N}, kde N označuje počet dopadajících částic a \mathrm{d}N představuje počet částic, které byly rozptýleny do intervalu úhlů od \theta do \theta + \mathrm{d}\theta.

Tato veličina je charakteristikou interakce částic a nikoliv jejich geometrického uspořádání. Termín diferenciální zohledňuje skutečnost, že se jedná o charakteristiku rozptylu do úhlu \mathrm{d}\theta. +more Diferenciální účinný průřez \mathrm{d}\sigma udává počet částic rozptýlených jedním silovým centrem (terčíkovou částicí) za jednotku času do úhlu mezi \theta a \theta+\mathrm{d}\theta při jednotkové proudové hustotě svazku, tedy při proudové hustotě, které odpovídá dopad jedné částice za 1 s na 1m2.

Celkový počet částic \mathrm{d}\nu rozptýlených za čas \Delta t do úhlu mezi \theta a \theta+\mathrm{d}\theta získáme vynásobením diferenciálního účinného průřezu počtem rozptylových center, časovým intervalem \Delta t a proudovou hustotou j dopadajícího svazku.

Rozptylový úhel \theta bývá monotónně klesající funkcí srážkového parametru b. Vztah mezi b a \theta je v takovém případě jednoznačný. +more Do úhlů mezi \theta a \theta+\mathrm{d}\theta budou v takovém případě rozptýleny pouze částice svazku, které mají srážkové parametry mezi b(\theta) a b(\theta)+\mathrm{d}b(\theta). Jedná se o částice svazku, které ve svazku prochází uvnitř mezikruží s poloměry b a b+\mathrm{d}b. Při proudové hustotě j je jejich počet \mathrm{d}N=2\pi bj\mathrm{d}b. Pro diferenciální účinný průřez pak vychází :\mathrm{d}\sigma = 2\pi b\mathrm{d}b Diferenciací b(\theta) dostaneme \mathrm{d}b=\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta}\mathrm{d}\theta a dosazením do předchozího vztahu vznikne :\mathrm{d}\sigma = 2\pi b\left|\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta}\right|\mathrm{d}\theta Absolutní hodnota byla zavedena proto, že derivace \frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta} je obvykle záporná, zatímco \mathrm{d}\sigma je definována jako nezáporná veličina.

Diferenciální účinný průřez bývá zvykem vyjadřovat prostřednictvím elementu prostorového úhlu \mathrm{d}\Omega = 2\pi\sin\theta\mathrm{d}\theta. předchozí vztah pak získá tvar :\mathrm{d}\sigma = \frac{b(\theta)}{\sin\theta}\left|\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta}\right|\mathrm{d}\Omega