Šťastné číslo

Šťastné číslo je v matematice definováno následujícím způsobem: vezme se libovolné kladné celé číslo, nahradí se součtem druhých mocnin svých číslic a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají šťastná, ostatní pak nešťastná.

Formálněji řečeno: mějme číslo n=n_0 a definujme posloupnost n_1, n_2, . kde n_{i+1} je součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla n_i. +more Poté n je šťastné právě tehdy, když existuje i takové, že n_i = 1.

Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly.

Příklad

Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:

:72 = 49 :42 + 92 = 97 :92 + 72 = 130 :12 + 32 + 02 = 10 :12 + 02 = 1

číslo 1663 je také šťastné číslo:

:12 + 62 + 62 + 32 = 82 :82 + 22 = 68 :62 + 82 = 100 :12 + 02 + 02 = 1

i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (například triskaidekafobiky), je dle této definice šťastné číslo:

:12 + 32 = 10 :12 + 02 = 1

Chování posloupnosti

Když n není šťastné, pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (například pro číslo 4): :4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, . +more Pokud n má m číslic, poté součet druhých mocnin jimi vyjádřených čísel může být nejvýše 81m (to nastane, pokud jsou všechny číslice devítky).

Pro m=4 a více je :n\geq10^{m-1}>81m tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. V číslech menších než 1000 je číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243. +more * V rozmezí 100 až 243 největší hodnotu, a to 163, dává číslo 199. * V rozmezí 100 až 163 největší hodnotu, a to 107, dává číslo 159. * V rozmezí 100 až 107 největší hodnotu, a to 50, dává číslo 107. U čísel v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107] je vidět, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem se začne, nakonec vznikne číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné nebo se zacyklí.

Šťastná prvočísla

Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou: :7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 ([url=http://oeis. +moreorg/A035497]Sekvence A035497[/url] v OEIS).

Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru 10^n + 3 a 10^n + 9 pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že: * Všechna tato čísla mají nejméně 2 číslice. +more * První číslicí je vždy 1. * Poslední číslicí je vždy 3 nebo 9. * Všechny další číslice jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní). ** Posloupnost při přidání 3 je: 12 + 32 = 10 → 12 = 1 ** Posloupnost při přidání 9 je: 12 + 92 = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1.

Palindromické prvočíslo 10150006 + 7426247×1075000 + 1, které má 150007 číslic, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají 1^2 + 7^2+4^2+2^2+6^2+2^2+4^2+7^2 + 1^2 = 176, což je šťastné číslo. Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.

Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě

Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tuto definici lze rozšířit na ostatní číselné soustavy.

K vyznačení čísel v jiných soustavách je možné používat číslo v pravém dolním indexu, které představuje zvolenou soustavu. Například 100_2 představuje číslo 4 ve dvojkové soustavě. +more V každé číselné soustavě existují šťastná čísla. Například čísla :1_b,10_b,100_b,1000_b,. jsou šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu b.

Ze stejného důvodu jako výše se lze přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě b vede k zacyklení v číslech menších než 1000_b. Využije se to, že když n , pak součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla n v soustavě b je menší nebo roven :3(b-1)^2. +more Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než b^3 = 1000_b. Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než 1000_b, zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než 1000_b je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.

Ve dvojkové soustavě jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 10002 jsou totiž šťastná: : 111_2 \rightarrow 11_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1 : 110_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1 : 101_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1 : 100_2 \rightarrow 1. +more .

Dvojková soustava je tedy šťastná číselná soustava. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.

Odkazy

Reference

Externí odkazy

Šťastné číslo v encyklopedii MathWorld [url=http://mathworld. wolfram. +morecom/HappyNumber. html]Happy Number -- from Wolfram MathWorld[/url]. * OEIS: [url=http://oeis. org/A007770]A007770[/url] - Happy numbers.

Kategorie:Přirozená čísla Kategorie:Teorie čísel Kategorie:Rekreační matematika