Cesko.wiki Definitnost
Author
Albert FloresDefinitnost je pojem z lineární algebry. Popisuje, jaké znaménko mohou nabývat reálné kvadratické formy určené symetrickými maticemi, a obecněji i komplexní seskvilineární formy určené hermitovskými maticemi.
Definitnost matice se v geometrii používá k charakterizaci kuželoseček a kvadrik. Pozitivně definitní matice souvisejí se skalárním součinem a mají řadu aplikací mimo lineární algebru, například v matematické analýze k určování extrémů funkcí více proměnných, v semidefinitním programování a ve fyzice.
| Pozitivně definitní matice | Indefinitní matice |
|---|---|
| \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} | \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} |
| Příslušná kvadratická forma Q na \R^2: Q(x,y)=\frac14 x^2+y^2 | Příslušná kvadratická forma Q na \R^2: Q(x,y)=\frac14 x^2-\frac14 y^2 |
| 150x150pixelů Body splňující Q(x,y)=1 (Elipsa). +more | 150x150pixelů Body splňující Q(x,y)=1 (Hyperbola). |
Definice
Pro komplexní matice
Pokud pro hermitovskou komplexní matici \boldsymbol A\in \C^{n\times n}a každý nenulový komplexní vektor \boldsymbol x\in \C^n\setminus \mathbf 0 platí:
| \boldsymbol x^{\mathrm H}\boldsymbol{Ax}>0, | potom se \boldsymbol A nazývá pozitivně definitní, |
|---|---|
| \boldsymbol x^{\mathrm H}\boldsymbol{Ax}\ge0, | potom se \boldsymbol A nazývá pozitivně semidefinitní, |
| \boldsymbol x^{\mathrm H}\boldsymbol{Ax}, | potom se \boldsymbol A nazývá negativně definitní, |
| \boldsymbol x^{\mathrm H}\boldsymbol{Ax}\le 0, | potom se \boldsymbol A nazývá negativně semidefinitní, |
| v ostatních případech | se \boldsymbol A nazývá indefinitní. |
Pro reálné matice
Reálné hermitovské matice jsou symetrické a hermitovská transpozice splývá s obvyklou transpozicí. Předchozí definice se pro reálné matice zužuje následovně.
Pokud pro symetrickou reálnou matici \boldsymbol A\in \R^{n\times n}a každý nenulový reálný vektor \boldsymbol x\in \R^n\setminus \mathbf 0 platí:
| \boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol{Ax}>0, | potom se \boldsymbol A nazývá pozitivně definitní, |
|---|---|
| \boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol{Ax}\ge0, | potom se \boldsymbol A nazývá pozitivně semidefinitní, |
| \boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol{Ax}, | potom se \boldsymbol A nazývá negativně definitní, |
| \boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol{Ax}\le 0, | potom se \boldsymbol A nazývá negativně semidefinitní, |
| v ostatních případech | se \boldsymbol A nazývá indefinitní. |
Pro bilineární a kvadratické formy
Nechť V je vektorový prostor nad komplexními (nebo reálnými) čísly.
Pokud pro Hermitovskou seskvilineární formu \langle{\cdot}, {\cdot}\rangle\colon V\times V\to \mathbb{C} (resp. symetrickou bilineární formu \langle{\cdot}, {\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb R) a libovolný nenulový vektor \boldsymbol v\in V\setminus \mathbf 0 platí:
| \langle \boldsymbol v,\boldsymbol v\rangle>0, | potom se forma nazývá pozitivně definitní, |
|---|---|
| \langle \boldsymbol v,\boldsymbol v\rangle\ge 0, | potom se forma nazývá pozitivně semi definitní, |
| \langle \boldsymbol v,\boldsymbol v\rangle, | potom se forma nazývá negativně definitní, |
| \langle \boldsymbol v,\boldsymbol v\rangle\le 0, | potom se forma nazývá negativně semidefinitní, |
| v ostatních případech | se forma nazývá indefinitní. |
V případě, že prostor V má konečnou dimenzi, lze formu reprezentovat vůči libovolné bázi maticí. Bez ohledu na volbu báze se definitnost formy se shoduje s definitností matice.
Definitnost kvadratické formy se odvozuje od definitnosti příslušné symetrické matice.
Vlastní čísla
Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná, neboť díky spektrální větě je podobná reálné diagonální matici s vlastními čísly na diagonále. Definitnost matice je určena znaménky vlastních čísel. +more Hermitovská matice je:.
* pozitivně definitní, právě když má všechna vlastní čísla kladná. * pozitivně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nezáporná. +more * negativně definitní, právě když má všechna vlastní čísla záporná. * negativně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nekladná. * indefinitní, právě když má kladná i záporná vlastní čísla.
Vlastnosti
Řada vlastností platí pro více typů definitnosti, proto je formulujeme jen jednou a odpovídající části jsou odlišeny lomítky.
Násobek
Pokud je matice \boldsymbol A pozitivně/negativně definitní a r je kladné reálné číslo, potom matice r\boldsymbol A je pozitivně/negativně definitní.
Pro semidefinitní matice obou typů stačí, aby r bylo nezáporné.
Součet
Pokud jsou matice \boldsymbol A a \boldsymbol B pozitivně/negativně definitní/semidefinitní, potom jejich součet \boldsymbol A + \boldsymbol B je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní.
Konvexita
Pokud jsou matice \boldsymbol A a \boldsymbol B pozitivně/negativně definitní/semidefinitní a \alpha je reálné číslo z intervalu \langle 0,1 \rangle, potom jejich konvexní kombinace \alpha\boldsymbol A + (1-\alpha )\boldsymbol B je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní. Platí i pro konvexní kombinace více matic.
Inverze
Pokud je matice \boldsymbol A pozitivně/negativně definitní, potom matice k ní inverzní \boldsymbol A^{-1} je pozitivně/negativně definitní.
Součiny
Maticový součin \boldsymbol{AB} pozitivně definitních matic \boldsymbol A a \boldsymbol B stejného řádu nemusí být pozitivně definitní. * Pokud ale součin komutuje, čili \boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA} a \boldsymbol A i \boldsymbol B jsou pozitivně definitní, pak \boldsymbol{AB} je pozitivně definitní. +more * Hadamardův součin \boldsymbol{A}\circ\boldsymbol{B} pozitivně definitních matic \boldsymbol A a \boldsymbol B je pozitivně definitní. * Kroneckerův součin \boldsymbol{A}\otimes\boldsymbol{B} pozitivně definitních matic \boldsymbol A a \boldsymbol B je pozitivně definitní. * Frobeniův skalární součin \langle\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\rangle_\mathrm{F} pozitivně definitních matic \boldsymbol A a \boldsymbol B je kladné číslo.
Pozitivně definitní matice
Charakterizace
Nechť \boldsymbol A je symetrická (případně hermitovská) matice. Pak následujících deset tvrzení je ekvivalentních:
* Matice \boldsymbol A je pozitivně definitní.
* Všechna vlastní čísla matice \boldsymbol A jsou kladná.
* Všechna vlastní čísla všech hlavních podmatic jsou kladná.
* Hlavní minory určené prvními k řádky pro k\in\{1,\ldots,n\} jsou kladné, neboli \det \boldsymbol A_k > 0 , kde : \boldsymbol A_1=a_{11},\quad \boldsymbol A_2= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix},\quad \boldsymbol A_3= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix},\quad\ldots : tzv. Jacobiho podmínka, či Sylvestrovo kritérium. +more * Všechny hlavní minory matice \boldsymbol A jsou kladné.
* Součty všech hlavních minorů k-tého stupně jsou kladné pro k\in\{1,\ldots,n\}.
* Existuje dolní trojúhelníková matice \boldsymbol L tak, že \boldsymbol A=\boldsymbol L\boldsymbol L^{\mathrm T}; viz Choleského rozklad.
* Existuje regulární matice \boldsymbol B tak, že \boldsymbol A = \boldsymbol B\boldsymbol B^{\mathrm T}.
* Existuje symetrická (případně hermitovská) regulární matice \boldsymbol F tak, že \boldsymbol A = \boldsymbol F \boldsymbol F = \boldsymbol F^2; přičemž obvykle se značí \boldsymbol F = \sqrt{\boldsymbol A} = \boldsymbol A^{1/2}, viz maticové funkce.
* Existuje ortogonální (případně unitární) matice \boldsymbol U a diagonální matice \boldsymbol D s kladnými prvky na diagonále tak, že \boldsymbol A = \boldsymbol U \boldsymbol D \boldsymbol U^T; viz Jordanův rozklad (resp. Jordanův kanonický tvar) a Schurův rozklad.
Důkaz ekvivalence viz např.
Věta dává k dispozici mnoho způsobů jak testovat pozitivní definitnost. V základním kurzu lineární algebry, při práci s malými maticemi (n=1,2,3) se lze setkat s klasickou Jacobiho podmínkou (Sylvestrovým kritériem). +more Postupy založené na výpočtu determinantů (minorů) nebo vlastních čísel matice (podmatic) nejsou použitelné v praxi (n= 10^6,10^9,\ldots). Jediný prakticky upotřebitelný postup je Choleského rozklad.
Praktické určení pozitivní definitnosti
Ve výpočetní praxi je často potřeba určit, zda je reálná symetrická matice pozitivně definitní, efektivním, zejména numericky stabilním a časově nenáročným způsobem. Jako nejvhodnější nástroj se pro tento účel jeví Choleského rozklad (výpočet má asymptotickou složitost n^3 a algoritmus je numericky stabilní). +more Pokud matice není pozitivně definitní, pak dojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo odmocnění záporného čísla. Pokud matice je pozitivně definitní, tyto situace ve výpočtu Choleského rozkladu nenastanou.
Choleského rozklad lze určit i pro komplexní hermitovskou pozitivně definitní matic. Při výpočtu je třeba použít aritmetiku komplexních čísel, a proto je nezbytné hlídat, zdali při výpočtu nedochází k odmocnění záporného čísla. +more Pokus o výpočet takové odmocniny v komplexní aritmetice obecně neskončí chybovým hlášením programu, ale pokud taková situace nastane, znamená to, že daná matice není pozitivně definitní.