Eulerův–Maclaurinův vzorec

Eulerův-Maclaurinův vzorec je v matematice vzorec pro rozdíl mezi integrálem a sumou tento integrál aproximující. Lze jej použít pro aproximaci integrálů konečnými součty nebo opačně pro vyhodnocení konečných součtů a nekonečných řad pomocí integrálů a numerické řešení úloh infinitezimálního počtu. Z tohoto vzorce je odvozeno mnoho asymptotických rozvojů, a jeho bezprostředním důsledkem je Faulhaberův vzorec pro sumu mocnin.

Vzorec objevili okolo roku 1735 nezávisle Leonhard Euler a Colin Maclaurin. Euler jej potřeboval pro výpočty pomalu konvergujících nekonečných řad, zatímco Maclaurin jej používal pro vypočet integrálů. +more Později byl zobecněn na Darbouxův vzorec.

Vzorec

Pokud a jsou přirozená čísla a je reálná nebo komplexní spojitá funkce s reálným parametrem na intervalu \langle m, n\rangle, pak integrál :I = \int_m^n f(x)\,dx lze aproximovat součtem (nebo naopak) :S = f(m + 1) + \cdots + f(n - 1) + f(n) (viz obdélníková metoda). Eulerův-Maclaurinův vzorec poskytuje výrazy pro rozdíl mezi součtem a integrálem s použitím vyšších derivací f^{(k)}(x) vyčíslených v koncových bodech intervalu a .

Explicitně pro libovolné kladné celé číslo a libovolnou funkci , která je krát diferencovatelná na intervalu \langle m, n\rangle, platí :S - I = \sum_{k=1}^p {\frac{B_k}{k!} \left(f^{(k - 1)}(n) - f^{(k - 1)}(m)\right)} + R_p, kde je -té Bernoulliho číslo (s B_1=\frac{1}{2}) a je chybový člen, který závisí na, a a obvykle je pro vhodné hodnoty malý.

Vzorec se často píše tak, že dolní index nabývá pouze sudých hodnot, protože lichá Bernoulliho čísla jsou nula kromě pro : :\sum_{i=m}^n f(i) = \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p,

nebo alternativně :\sum_{i=m+1}^n f(i) = \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(m)}{2} + \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p.

Zbytkový člen

Protože integrál obvykle není přesně roven součtu, obsahuje vzorec zbytkový člen. Vzorec lze odvodit opakovanou aplikací integrace per partes na sebe navazujících intervalech \langle r, r + 1\rangle pro . +more Hraniční členy v těchto integracích dávají hlavní členy vzorce, a zbylé integrály tvoří zbytkový člen.

Zbytkový člen lze přesně vyjádřit pomocí periodizované Bernoulliho funkce . Bernoulliho polynomy je možné definovat rekurzivně vztahem a, pro , :\begin{align} B_k'(x) &= kB_{k - 1}(x), \\ \int_0^1 B_k(x)\,dx &= 0. +more \end{align} Periodizovaná Bernoulliho funkce je definována vztahem :P_k(x) = B_k\bigl(x - \lfloor x\rfloor\bigr), kde označuje největší celé číslo menší nebo rovné , takže vždy leží v intervalu \langle 0,1).

S touto notací je zbytkový člen roven :R_p = (-1)^{p+1}\int_m^n f^{(p)}(x) \frac{P_p(x)}{p!}\,dx.

Pro lze ukázat, že :\bigl|B_k(x)\bigr| \le \frac{2 \cdot k. }{(2\pi)^k}\zeta(k), kde je Riemannova funkce zeta; jednou z možností, jak tuto nerovnost dokázat, je použít Fourierovu řadu pro polynomy . +more Meze jsou dosaženy pro sudé , pokud . Člen lze pro lichá vynechat, ale důkaz je v tomto případě složitější. Pomocí této nerovnosti lze velikost zbytkového členu odhadnout jako :\left|R_p\right| \leq \frac{2 \zeta(p)}{(2\pi)^p}\int_m^n \left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.

První členy

Bernoulliho čísla od do jsou \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, 0, -\frac{1}{30}, 0, \frac{1}{42}, 0. Proto první členy Eulerova-Maclaurinova vzorce jsou: \begin{align} \sum_{n=a+1}^b f(n) - \int_a^b f(x)\,dx &= \frac{f(b)-f(a)}{2} + \int_a^b f'(x)P_1(x)\,dx \\ &=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2. +more} - \int_a^b f(x)\frac{P_2(x)}{2. }\,dx \\ &=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2. } + \int_a^b f'(x)\frac{P_3(x)}{3. }\,dx \\ &=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2. } - \frac{1}{30}\frac{f(b) - f(a)}{4. }-\int_a^b f^{(4)}(x) \frac{P_4(x)}{4. }\, dx \\ &=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2. } - \frac{1}{30}\frac{f(b) - f(a)}{4. } + \int_a^b f^{(5)}(x)\frac{P_5(x)}{5. }\,dx \\ &=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2. } - \frac{1}{30}\frac{f(b) - f(a)}{4. } + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)}{6. } - \int_a^b f^{(6)}(x)\frac{P_6(x)}{6. }\,dx \\ &=\frac{f(b)-f(a)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(b) - f'(a)}{2. } - \frac{1}{30}\frac{f(b) - f(a)}{4. } + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)}{6. } + \int_a^b f^{(7)}(x)\frac{P_7(x)}{7. }\,dx. \end{align}.

Aplikace

Basilejský problém

Basilejský problém je spočítat sumu : 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.

Euler v roce 1735 vypočítal tento součet na 20 desítkových míst pomocí několika málo členů Eulerova-Maclaurinova vzorce. To jej pravděpodobně přesvědčilo, že součet se rovná \frac{\pi^2}{6}, což ve stejném roce dokázal.

Součty obsahujícím polynom

Je-li je Polynom a je dostatečně velké, pak zbytkový člen bude mít nulovou hodnotu. Pokud například , můžeme zvolit po zjednodušení dostaneme :\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2.

Aproximace integrálů

Vzorec poskytuje prostředek pro aproximaci integrálu na omezeném intervalu. Nechť jsou koncové body intervalu integrace. +more Zvolíme - počet bodů použitých pro aproximaci, takže velikost kroku bude.

:h = \frac{b-a}{N - 1}

a , tedy a . Dostáváme : \begin{align} I & = \int_a^b f(x)\,dx \\ &\sim h\left(\frac{f(x_1)}{2} + f(x_2) + \cdots + f(x_{N-1}) + \frac{f(x_N)}{2}\right) + \frac{h^2}{12}\bigl[f'(x_1) - f'(x_N)\bigr] - \frac{h^4}{720}\bigl[f(x_1) - f(x_N)\bigr] + \cdots \end{align}

Tento vzorec můžeme chápat jako rozšíření lichoběžníkového pravidla o opravné členy. Tento asymptotický rozvoj obvykle nekonverguje - existuje určité , závisející na a , takové, že členy od řádu rychle rostou. +more Na zbytkový člen je tedy třeba dávat velký pozor.

Eulerův-Maclaurinův vzorec se používá také pro podrobnou analýzu chyb při numerické integraci. Vysvětluje vynikající výkonnost lichoběžníkové metody pro hladké periodické funkce a používá se v určitých extrapolačních metodách. +more Clenshawova-Curtisova kvadratura je v zásadě substituce, která převádí libovolný integrál na integrály periodických funkcí, kde je Eulerův-Maclaurinův přístup velmi přesný (v tomto určitém případě má Eulerův-Maclaurinův vzorec tvar diskrétní kosinové transformace). Tato technika se někdy nazývá periodizační transformace.

Asymptotický rozvoj součtů

Při výpočtech asymptotických rozvojů součtů a řad je obvykle nejužitečnější tento tvar Eulerova-Maclaurinova vzorce: :\sum_{n=a}^b f(n) \sim \int_a^b f(x)\,dx + \frac{f(b) + f(a)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \,\frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(b) - f^{(2k - 1)}(a)\right),

kde a jsou celá čísla. Rozvoj zůstává často platný dokonce i po limitním přechodu , nebo obou. +more V mnoha případech lze integrál na pravé straně vyčíslit v uzavřeném tvaru pomocí elementárních funkcí, přestože součet na levé straně takto vyjádřit nelze. Pak lze pomocí elementárních funkcí vyjádřit všechny členy asymptotické řady. Například :\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z + k)^2} \sim \underbrace{\int_0^\infty\frac{1}{(z + k)^2}\,dk}_{= \dfrac{1}{z}} + \frac{1}{2z^2} + \sum_{t = 1}^\infty \frac{B_{2t}}{z^{2t + 1}}.

Zde je levá strana rovna , jmenovitě polygamma funkci prvního řádu definované vztahem :\psi^{(1)}(z) = \frac{d^2}{dz^2}\log \Gamma(z); Gama funkce je rovna , je-li je přirozené číslo. Dostáváme asymptotický rozvoj pro . +more Naopak tento rozvoj slouží jako východisko pro jedno z odvození přesného odhadu chyby ve Stirlingově vzorci pro funkci faktoriál.

Příklady

Je-li celé číslo větší než 1, dostáváme: :\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s} \approx \frac 1{s-1}+\frac 12-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^s}+\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i). }\left[\frac{(s+2i-2). +more}{(s-1). }-\frac{(s+2i-2). }{(s-1). n^{s+2i-1}}\right].

Pokud sloučíme konstanty do hodnoty Riemannovy funkce zeta, můžeme asymptotický rozvoj zapsat ve tvaru: :\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s} \sim\zeta(s)-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^s}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i). }\frac{(s+2i-2). +more}{(s-1). n^{s+2i-1}}.

Pro se výraz zjednoduší na :\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \sim\zeta(2)-\frac 1n+\frac 1{2n^2}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{n^{2i+1}}, nebo :\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \sim \frac{\pi^2}{6} -\frac{1}{n} +\frac{1}{2n^2} -\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{30n^5}-\frac{1}{42n^7} + \cdots.

Pro dává odpovídající technika asymptotický rozvoj harmonických čísel: :\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim \gamma + \log n + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}}, kde je Eulerova konstanta.

Důkazy

Odvození matematickou indukcí

Následující důkaz uvádí Apostol.

Bernoulliho polynomy a periodické Bernoulliho funkce pro byly zavedeny výše.

Prvních několik Bernoulliho polynomů je :\begin{align} B_0(x) &= 1, \\ B_1(x) &= x - \tfrac{1}{2}, \\ B_2(x) &= x^2 - x + \tfrac{1}{6}, \\ B_3(x) &= x^3 - \tfrac{3}{2}x^2 + \tfrac{1}{2}x, \\ B_4(x) &= x^4 - 2x^3 + x^2 - \tfrac{1}{30}, \\ &\vdots \end{align}

Hodnoty jsou Bernoulliho čísla . Pro platí :B_n = B_n(0) = B_n(1), a pro , :B_1 = B_1(0) = -B_1(1).

Funkce mají na intervalu \langle 0, 1\rangle stejnou hodnotu jako Bernoulliho polynomy a jsou periodické s periodou 1. Navíc jsou, kromě , také spojité. +more Tedy, : P_n(0) = P_n(1) = B_n \quad \text{pro }n \neq 1.

Pro celé číslo uvažujme integrál : \int_k^{k + 1} f(x)\,dx = \int_k^{k + 1} u\,dv, kde :\begin{align} u &= f(x), \\ du &= f'(x)\,dx, \\ dv &= P_0(x)\,dx & \text{protože }P_0(x) &= 1, \\ v &= P_1(x). \end{align}

Integrací per partes dostaneme :\begin{align} \int_k^{k + 1} f(x)\,dx &= \bigl[uv\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k + 1} v\,du \\ &= \bigl[f(x)P_1(x)\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx \\ &= B_1(1)f(k+1)-B_1(0)f(k) - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx. \end{align}

Použitím B_1(0) = -\frac{1}{2}, B_1(1) = \frac{1}{2} a sečtením výše uvedených výrazů od do , dostaneme :\begin{align} \int_0^n f(x)\, dx &= \int_0^1 f(x)\,dx + \cdots + \int_{n-1}^n f(x)\,dx \\ &= \frac{f(0)}{2}+ f(1) + \dotsb + f(n-1) + \frac{f(n)}{2} - \int_0^n f'(x) P_1(x)\,dx. \end{align}

Přičtením \frac{f(n) - f(0)}{2} k oběma stranám a přeskupením členů dostaneme : \sum_{k=1}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(0)}{2} + \int_0^n f'(x) P_1(x)\,dx.

Výsledkem je sumační vzorec pro . Pro pokračování indukce aplikujeme integraci per partes na chybový člen: :\int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx = \int_k^{k + 1} u\,dv, kde :\begin{align} u &= f'(x), \\ du &= f(x)\,dx, \\ dv &= P_1(x)\,dx, \\ v &= \tfrac{1}{2}P_2(x). +more \end{align}.

Výsledek integrace per partes je :\begin{align} \bigl[uv\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k + 1} v\,du &= \left[\frac{f'(x)P_2(x)}{2} \right]_k^{k+1} - \frac{1}{2}\int_k^{k+1} f(x)P_2(x)\,dx \\ &= \frac{B_2}{2}(f'(k + 1) - f'(k)) - \frac{1}{2}\int_k^{k + 1} f(x)P_2(x)\,dx. \end{align}

Sečtením od do a substitucí za chybový člen nižšího řádu vede ke vzorci pro : :\sum_{k=1}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(0)}{2} + \frac{B_2}{2}\bigl(f'(n) - f'(0)\bigr) - \frac{1}{2}\int_0^n f(x)P_2(x)\,dx.

Celý postup lze opakovat. Tímto způsobem dostaneme důkaz Eulerova-Maclaurinova sumačního vzorce, který lze formalizovat matematickou indukcí, při níž indukční krok využívá integraci per partes a identit pro periodické Bernoulliho funkce.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Cesàrova sumace * Eulerova sumace * Gaussův-Kronrodův vzorec pro numerickou integraci * Darbouxův vzorec * Eulerova-Booleova sumace

Externí odkazy

Kategorie:Teorie aproximace Kategorie:Asymptotické chování Kategorie:Hilbertův prostor Kategorie:Numerická integrace Kategorie:Sumační metody vzorec, Eulerův-Maclaurinův