Funkce beth

Funkce Beth pojmenovaná po druhém písmenu hebrejské abecedy zapisovaná rovněž jako \beth je jedním ze způsobů zápisu určitých nekonečných kardinálních čísel v teorii množin.

Definice

Funkce Beth přiřazuje každému ordinálnímu číslu \alpha následujícím rekurzivním způsobem kardinální číslo \beth_\alpha:

* \beth_0 = \aleph_0, kde \aleph_0 je nejmenší nekonečný kardinál, viz Funkce alef. * \beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha} pro izolovaný ordinál \alpha+1 (tj. +more mohutnost potenční množiny \beth_{\alpha}). * \beth_\lambda = \sup_{\alpha pro limitní ordinál \lambda.

Vztah k hypotézám kontinua

Hypotéza kontinua je ekvivalentní s \aleph_1 = \beth_1, tedy \beth_1 je mohutností potenční množiny spočetné množiny a tudíž rovna mohutnosti kontinua \R. * Zobecněná hypotéza kontinua je ekvivalentní s \aleph = \beth, tedy \aleph_\alpha = \beth_\alpha pro všechna ordinální čísla \alpha.

Vztah k limitním a nedosažitelným kardinálům

Limitní kardinál \kappa se nazývá silně limitním, jestliže \mu^\lambda pro všechny kardinály \lambda,\mu . * Kardinál \kappa je silně limitní, právě když \kappa = \beth_\xi pro limitní ordinál \xi.

Platí \alpha \le \aleph_\alpha \le \beth_\alpha pro všechna ordinální čísla \alpha. Lze ukázat, že funkce \beth má pevné body, tj. +more takové ordinály \alpha, pro než \alpha = \beth_\alpha. * Nejmenším pevným bodem je přitom limita posloupnosti \beth_0, \beth_{\beth_0}, \beth_{\beth_{\beth_0}}, \ldots, tedy neformálně \beth_{\beth_{{}_\ddots}}. * Zrovna tak jsou (silně) nedosažitelné kardinály pevnými body funkce \beth.

Související články

Funkce alef * Funkce gimel

Odkazy

Reference

Kategorie:Kardinální čísla Kategorie:Matematické funkce