Hypotéza singulárních kardinálů

Hypotéza singulárních kardinálů (někdy také označovaná zkratkou SCH) je tvrzení z oboru teorie množin, které (pokud je přijato) zjednodušuje výpočet kardinální mocniny.

Toto tvrzení bylo formulováno R.Solovayem v roce 1974 v následujícím tvaru:

Formulace hypotézy

Pro každý singulární kardinál \aleph_{\alpha} \,\! platí

\gimel(\aleph_{\alpha}) = max(\aleph_{\alpha + 1}, 2^{cf(\aleph_{\alpha})}) \,\!

* \aleph_{\alpha} \,\. je zápis pro funkci alef používanou pro označování nekonečných kardinálů * \gimel \,\. +more je zápis pro funkci gimel * cf(\aleph_{\alpha}) \,\. je zápis pro kofinál kardinálního čísla.

Hypotézu lze ekvivalentně formulovat také: * Jestliže pro nekonečné kardinální číslo \kappa platí nerovnost 2^{\operatorname{cf}\kappa}, pak \kappa^{\operatorname{cf} \kappa}=\kappa^+, kde \kappa^+ značí následníka \kappa.

Postavení hypotézy v teorii množin

Jak sám název napovídá, jedná se o hypotézu - tj. tvrzení, které zatím nebylo dokázáno z axiomů teorie množin a jsou dobré důvody se domnívat, že ani dokazatelné není.

SCH je důsledkem zobecněné hypotézy kontinua, což mimo jiné znamená, že je bezesporná s axiomy ZF - to vyplývá z bezespornosti samotné zobecněné hypotézy kontinua. Mezi oběma hypotézami ale neplatí ekvivalence - SCH je tedy „slabší“ tvrzení. +more Menachem Magidor roku 1977 dokázal, že SCH není dokazatelná v ZFC, pokud je existence superkompaktního kardinálu bezesporná s axiomy ZFC.

Význam hypotézy

Hlavním významem SCH je, že podstatným způsobem zjednodušuje výpočet kardinální mocniny. Jsou-li \aleph_{\alpha} \,\. +more a \aleph_{\beta} \,\. libovolné nekonečné kardinály, pak (za předpokladu přijetí SCH) platí: * \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = 2^{\aleph_{\beta}} \,\. , pokud \aleph_{\alpha} \leq 2^{\aleph_{\beta}} \,\. * \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha} \,\. , pokud \aleph_{\alpha} > 2^{\aleph_{\beta}} \,\. a \aleph_{\beta} * \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha + 1}\,\. , pokud \aleph_{\alpha} > 2^{\aleph_{\beta}} \,\. a cf(\aleph_{\alpha}) \leq \aleph_{\beta} \,\.

Související články

Kardinální aritmetika * Funkce gimel * Zobecněná hypotéza kontinua * Singulární kardinál

Kategorie:Tvrzení nezávislá na ZF