Cesko.wiki Hölderova nerovnost
Author
Albert FloresHölderova nerovnost, také známá jako Hölderova věta, je matematická nerovnost, která byla pojmenována po německém matematikovi Oskaru Holderovi. Tato nerovnost se týká integrálu součinu dvou funkcí a umožňuje odhadnout hodnotu tohoto integrálu pomocí maximálních hodnot jednotlivých funkcí. Hölderova nerovnost je důležitým nástrojem zejména v analýze a teorii míry. Tato nerovnost je součástí širší rodiny nerovností, které jsou známé jako Minkowského nerovnosti. Tato stránka na Wikipedii poskytuje detailní informace o Hölderově nerovnosti včetně formálního vyjádření, důkazů a příkladů aplikace této nerovnosti v matematice.
Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.
Znění
Na prostoru s mírou (X, \Sigma, \mu) mějme μ-měřitelné funkce f, g na X. Dále nechť existují čísla 1 \le p, q \le \infty, taková, že: 1/p + 1/q = 1. +more Pak platí: :\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q.
Důležité speciální případy
Pro následující případy předpokládejme, že 1 a 1/p+1/q = 1.
Aritmetická míra
V případě n-rozměrného Eukleidovského prostoru a_k, b_k \in \mathbb{C}^n, s množinou X = \{1, ..., n\} a \mu aritmetickou mírou dostáváme: :\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{1/q}.
Rovnost nastává, právě když |b_k|=c|a_k|^{p-1}.
Lp prostory
Pokud f \in L^p(X), g \in L^q(X), tak f \cdot g \in L^1(X) a navíc: :\int_X |f \cdot g | \, \mathrm{d} \mu \le \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p} \cdot \left(\int_X |g|^q \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/q}
Pro p = q = 2 pak dostáváme Cauchyho-Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
Důkaz
Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a x\in platí xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}. Rovnost nastává, právě když r=s nebo x\in\{0,1\}. +more Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.