Nezávislé tvrzení

Tvrzení v matematické teorii se nazývá nezávislé, pokud je nelze z jejích axiomů dokázat ani vyvrátit. Jinými slovy, pokud teorie zůstane bezesporná, pokud k ní přidáme toto tvrzení nebo jeho negaci.

Vzhledem ke Gödelově větě o úplnosti lze ekvivalentně říci, že tvrzení A je nezávislé na teorii T, pokud v některém jejím modelu platí a v některém jiném neplatí.

Teorie je úplná, pokud neobsahuje žádná nezávislá tvrzení.

Ilustrativní příklad

Teorie neomezených lineárních uspořádání není úplná, protože obsahuje nezávislé tvrzení

:::\forall a \forall b \exist x: a \precneqq x \land x \precneqq b\,\!

Příkladem modelu, v němž toto tvrzení platí, jsou racionální čísla; neplatí však v celých číslech.

Pokud k axiomům uvedené teorie přidáme toto tvrzení, dostaneme teorii hustých neomezených lineárních uspořádání a ta již úplná je. Pro každou formuli může nastat jen jedna z možností: buď platí v každém modelu, nebo v každém modelu platí její negace.

To však neznamená, že všechny modely této teorie jsou izomorfní; například neexistuje bijekce (a tím méně izomorfismus) mezi racionálními a reálnými čísly, ač obě struktury jsou modelem zmíněné teorie. Navíc Löwenheimova-Skolemova věta tvrdí, že ke každému nekonečnému modelu jakékoli predikátové teorie existují modely libovolné větší mohutnosti.

Důležité příklady

Podle druhé Gödelovy věty o neúplnosti je v Peanově aritmetice (PA) nezávislým tvrzením "PA je bezesporná".

Je-li Zermelova-Fraenkelova teorie množin (ZF) bezesporná, pak jsou v ní nezávislé bezespornost ZF, bezespornost ZFC a axiom výběru; v ZFC je pak nezávislý axiom konstruovatelnosti, hypotéza kontinua i zobecněná hypotéza kontinua (GCH); z GCH plyne axiom výběru, ale nikoli naopak.

Existence většiny velkých kardinálů je nezávislá na ZFC (je-li tato bezesporná). Naopak axiom konstruovatelnosti umožňuje dokázat či vyvrátit řadu tvrzení, které jsou nezávislé v ZFC (plyne z něho např. +more GCH a tedy i axiomu výběru).

Kategorie:Matematická logika