Polární rozklad

Polární rozklad je rozklad reálné (respektive komplexní) čtvercové matice na součin symetrické (respektive hermitovské) pozitivně semidefinitní matice a matice ortogonální (respektive unitární).

Reálný případ

Uvažujme A\in\mathbb{R}^{n\times n} a její singulární rozklad :A=U\Sigma V^T,\qquad U^{-1}=U^T, \; V^{-1}=V^T, \; \Sigma=\mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n), kde matice U a V jsou ortogonální a matice \Sigma je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí :\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3\geq\ldots\geq\sigma_n\geq0.

Vložením šikovně rozepsané jednotkové matice, I=U^TU=V^TV, na vhodné místo do singulárního rozkladu, získáme hledaný polární rozklad. Možnosti jsou dvě, buď :A=(U\Sigma U^T)(UV^T)=M_UQ, kde :M_U=U\Sigma U^T je symetrická pozitivně semidefinitní (je-li \sigma_n>0, tj. +more je-li A regulární, pak je symetrická pozitivně definitní) a :Q=UV^T je ortogonální. Případně :A=(UV^T)(V\Sigma V^T)=QM_V, kde :M_V=V\Sigma V^T je opět symetrická pozitivně (semi)definitní.

Komplexní případ

Zcela analogicky uvažujme A\in\mathbb{C}^{n\times n} a její singulární rozklad :A=U\Sigma V^H,\qquad U^{-1}=U^H, \; V^{-1}=V^H, \; \Sigma=\mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n), kde matice U a V jsou unitární a matice \Sigma je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí :\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3\geq\ldots\geq\sigma_n\geq0.

Polární rozklad lze opět vyjádřit dvěma způsoby, buď :A=(U\Sigma U^H)(UV^H)=M_UQ, kde :M_U=U\Sigma U^H je hermitovská pozitivně semidefinitní (je-li \sigma_n>0, tj. je-li A regulární, pak je hermitovská pozitivně definitní) a :Q=UV^H je unitární. +more Případně :A=(UV^H)(V\Sigma V^H)=QM_V, kde :M_V=V\Sigma V^H je opět hermitovská pozitivně (semi)definitní.

Rozšíření na obdélníkový případ

Je-li matice obdélníková, A\in\mathbb{R}^{m\times n} (\mathbb{C}^{m\times n}) a m, matice má tedy více sloupců než řádků, lze ji, zcela analogickým postupem jako v předchozích případech zapsat jako součin :A=M_UQ kde M_U je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice Q má ortonormální řádky.

Pokud je m>n, tedy matice má více sloupců než řádků, lze ji zapsat jako součin :A=QM_V kde M_V je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice Q má ortonormální sloupce.

Matice M_U, respektive M_V je regulární, pokud má matice A má lineárně nezávislé řádky, respektive sloupce.

Maticové identity

Následující vztahy uvádíme pouze pro komplexní případ, reálný případ je zcela analogický.

Obecně, je-li matice A čtvercová, nebo obdélníková s více sloupci než řádky, platí :M_U = \sqrt{AA^H} = \sqrt{(M_UQ)(M_UQ)^H} = \sqrt{(M_UQ)(Q^HM_U^H)} = \sqrt{M_UM_U} = \sqrt{M_U^2}. Je-li matice čtvercová, nebo obdélníková s více řádky než sloupci, platí :M_V = \sqrt{A^HA} = \sqrt{(QM_V)^H(QM_V)} = \sqrt{(M_V^HQ^H)(QM_V)} = \sqrt{M_VM_V} = \sqrt{M_V^2}. +more Viz definici odmocniny z matice.

Rozklady :M_U = U\Sigma U^H\qquad \text{a}\qquad M_V = V\Sigma V^H představují zároveň Schurovy i Jordanovy rozklady matic M_U a M_V.

Singulární čísla \sigma_j, j=1,\ldots,\min\{m,n\} matice A tedy představují vlastní čísla matic M_U a M_V.

Aplikace

Polární rozklad (reálné čtvercové regulární matice) nachází uplatnění zejména v klasické mechanice, kde slouží, v maticovém popisu, k oddělení deformace tělesa (reprezentované symetrickou pozitivně definitní maticí) od pohybu tuhého tělesa, přesněji změny souřadného systému (reprezentované ortogonální maticí).

Související články

Singulární rozklad * Maticová funkce * Schurův rozklad * Jordanův rozklad

Literatura

J. Duintjer Tebbens, I. +more Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. . (Kapitola 5. 8, Polární rozklad a exponenciální tvar čtvercové matice, str. 142-143) * M. Fiedler: Speciální matice a jejich užití v numerické matematice. SNTL, Státní nakladatelství technické literatury, edice TKI, Teoretická knižnice inženýra, 1981. (Věta 2. 29, str. 63).

Kategorie:Maticové rozklady