Singulární rozklad

Schéma singulárního rozkladu Singulární rozklad (zkratkou SVD podle anglického názvu Singular Value Decomposition) matice je rozklad komplexní nebo reálné matice \mathbf{M} na maticový součin \mathbf{U \Sigma V^*}. Přitom \mathbf{U} je reálná nebo komplexní unitární matice o rozměrech m \times m, \mathbf{V} je reálná nebo komplexní unitární matice n \times n a \mathbf{\Sigma} je matice m \times n nulová až na případná nezáporná čísla na hlavní diagonále; čísla na její hlavní diagonále se označují jako singulární hodnoty matice \mathbf{M}. Hvězdička označuje konjugovanou matici, tedy transponovanou matici komplexně sdružených prvků. Požadujeme-li, jak je obvyklé, aby singulární hodnoty byly seřazeny sestupně, je matice \mathbf{\Sigma} určena jednoznačně, naopak matice \mathbf{U} a \mathbf{V} jednoznačné být nemusejí. Singulární rozklad vždy existuje a používá se k řadě teoretických i praktických účelů. Lze ho chápat také jako zobecnění Schurova rozkladu na matice obecného tvaru. Nevýhodou je, že výpočetní náročnost konstrukce singulárního rozkladu roste se třetí mocninou rozměru matic. O vypracování teorie singulárních hodnot se zasloužili matematici Eugenio Beltrami (1873), Camille Jordan (1874), James Joseph Sylvester (1889), Erhard Schmidt (1907), Émile Picard (1910) a Eckart a Young (1936). První algoritmus SVD rozkladu publikovali Gene H. Golub a William Kahan (1965), jeho vylepšenou a dodnes často používanou variantu uveřejnili Golub a Christian Reinsch (1970).

Geometricky existence singulárního rozkladu znamená, že každý lineární operátor mezi reálnými vektorovými prostory konečných dimenzí lze rozložit na rotaci vzorů (matice \mathbf{V^*}), vynásobení (části) rotovaných vektorů nezápornými koeficienty (singulárními hodnotami) a opětnou rotaci (případně rotaci kombinovanou se zrcadlením) v prostoru obrazů (matice \mathbf{U}). Anebo můžeme matice \mathbf{U} a \mathbf{V} interpretovat jako matice přechodu mezi bázemi a říci, že pro každý lineární operátor mezi reálnými konečněrozměrnými vektorovými prostory lze najít dvojici ortonormálních bází (v prostoru vzorů a v prostoru obrazů) tak, že daný operátor se v těchto bázích zapíše jako matice s nezápornými čísly na hlavní diagonále a nulami všude jinde, tj. +more i-tou složku vzoru v první bázi násobí i-tou singulární hodnotou, čímž získá i-tou složku zápisu obrazu ve druhé bázi.

Odkazy

Související články

Polární rozklad * Analýza hlavních komponent

Externí odkazy

[url=http://www. karlin. +moremff. cuni. cz/~ptichy/blogs/nan/NA_06_prednaska. pdf]Přednáška Petra Tichého o SVD[/url] * [url=http://uivtx. cs. cas. cz/~rohn/other/lascript. pdf]Jiří Rohn: Lineární algebra a optimalizace (SVD na s. 108-122)[/url] * [url=https://www. youtube. com/watch. v=R9UoFyqJca8]Krátký vzdělávací film o singulárním rozkladu[/url] od Cleva Molera, autora Matlabu.

Kategorie:Maticové rozklady