5nadstěn

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

{{Infobox - nadstěn | název = Pentachoron 5nadstěn 4simplex | obrázek = Schlegel wireframe 5-cell.png | popisek = Pentachoron | typ = Pravidelný polychoron | počet nadstěn = 5 (3.3.3) | počet stěn = 10 {3} | počet hran = 10 | počet vrcholů = 6 | uspořádání vrcholů = | schläfliho symbol = {3,3,3} | grupa symetrie = grupa [3,3,3] | duál = 5nadstěn | vlastnosti = konvexní }} 5nadstěn je v geometrii čtyřrozměrnou analogií tetraedru. Jde o konvexní čtyřrozměrné těleso s deseti trojúhelníkovými stěnami. Je jedním z šesti pravidelných nadstěnů a také čtyřrozměrný simplex.

Geometrie

Kartézské souřadnice vrcholů 5nadstěnu o délce hrany 2 jsou:

:\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{6}},\ \frac{1}{\sqrt{3}},\ \pm1\right) :\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{6}},\ \frac{-2}{\sqrt{3}},\ 0 \right) :\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\ -\sqrt{\frac{3}{2}},\ 0,\ 0 \right) :\left( -2\sqrt{\frac{2}{5}},\ 0,\ 0,\ 0 \right)

3D projekce pentachoronu

Objem a obsah 5nadstěnu

Následující vzorce udávají, jaký je objem 5nadstěnu, a jeho k-rozměrné povrchy (což je vždy obsah k-rozměrné stěny krát počet těchto stěn) v závislosti na hraně a.

V_{4D}=\frac{\sqrt{5}}{96}\;a^4\,

S_{3D}=\frac{5\sqrt{2}}{12}\;\ a^3\,

S_{2D}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\;\ a^2\,

S_{1D}=10\ a\,

Poloměr vepsané koule je

\rho=\frac{\sqrt{10}}{20}\;a\,

a poloměr koule opsané je

r=\frac{\sqrt{10}}{5}\;a\,