Binetův vzorec (mechanika)

Binetův vzorec je lineární diferenciální rovnice druhého řádu, vyjadřující pohyb tělesa v centrálním poli. Mějme těleso hmotnosti m, jehož polární souřadnice jsou r a \varphi. Binetův vzorec je rovnice pro inverzní vzdálenost u = {1 \over r}, a má tvar

{{\mbox{d}^2 u \over \mbox{d}\varphi^2} + u = - {m \over L^2}{\mbox{d}V \over \mbox{d}u}}

kde V je potenciál tělesa v centrálním poli, L je jeho moment hybnosti.

Nalezneme-li funkci u(\varphi) řešící Binetův vzorec pro daný potenciál V, trajektorii tělesa dostaneme opět inverzí, tedy r(\varphi) = {1 \over u(\varphi)}

Gravitační pole

Důležitým případem je pohyb tělesa v gravitačním poli, tedy v potenciálu

V(r) = -{\alpha \over r}

kde \alpha = {GMm} je konstanta. Binetův vzorec má zde tedy tvar

{\mbox{d}^2 u \over \mbox{d}\varphi^2} + u = {\alpha m \over L^2}

To je nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, jehož obecným řešením

u(\varphi) = {\alpha m \over L^2}(1+\varepsilon \cos (\varphi + \varphi_0))

kde \varepsilon,\varphi_0 jsou integrační konstanty. Konstanta \varphi_0 má význam počáteční fáze, můžeme ji tedy bez újmy na obecnosti položit rovnou nule.

Inverzí vztahu dostaneme tvar trajektorie

r(\varphi) = {p \over 1+\varepsilon \cos \varphi }

kde p = {L^2 \over \alpha m}. To je rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. +more Konstanta \varepsilon je numerická excentricita a souvisí s celkovou energií tělesa v centrálním poli vztahem.

\varepsilon^2-1 = {2L^2 E \over \alpha^2 m}

Těleso (např. planeta nebo kometa) se tedy v centrálním gravitačním poli pohybuje po * elipse, je-li \varepsilon * hyperbole, je-li \varepsilon>1 * parabole, je-li \varepsilon=1 První případ platí pro pohyb planet a vyjadřuje tak první Keplerův zákon.

Kategorie:Mechanika