Brownův pohyb

Technology

12 hours ago

Author

Brownův pohyb je fyzikální proces popsaný americkým botanikem Robertem Brownem. Brownův pohyb popisuje náhodné pohyby mikroskopických částic v kapalinách a plynech. Tento jev je důsledkem neustálého srážení částic s molekulami kapaliny či plynu, což způsobuje náhodné změny jejich směru a rychlosti. Brownův pohyb je nezávislý na druhu částic, ale závislý na teplotě okolního prostředí. Tento jev se stal jedním z důkazů existence atomů a molekul. Brownův pohyb je také využíván v různých oblastech, například v mikroskopii, chemických reakcích či biologických studiích.

Znázornění Brownova pohybu na záznamu polohy nahodile se pohybující částice. Zobrazení téhož pohybu nezávisle v 32, 256 a 2048 krocích je znázorněno postupně světlejšími barvami Brownův pohyb je náhodný pohyb mikroskopických částic v kapalném nebo plynném médiu. Je limitou náhodné procházky. Vysvětlením Brownova pohybu je, že molekuly v roztoku se vlivem tepelného pohybu neustále srážejí, přičemž směr a síla těchto srážek jsou náhodné, díky čemuž je i okamžitá poloha částice náhodná. Rychlost Brownova pohybu je úměrná teplotě systému.

Brownův pohyb poprvé zaznamenal v roce 1827 biolog Robert Brown, když pozoroval chování pylových zrnek ve vodě. Aby vyloučil možnost, že pohyb je projevem případného života, opakoval experiment s částicemi prachu. +more Podstatu tohoto jevu objasnil v roce 1905 Albert Einstein, vycházeje z kinetické teorie látek.

Souvislost s difuzí

Brownův pohyb má význam např. pro pochopení difuze látek v prostředí. +more S přibývajícím časem, na základě stochastické pravděpodobnosti jsou molekuly neustálým nahodilým pohybem rozptylovány z místa s nejvyšší koncentrací. Některé molekuly se v následných krocích sice nahodile vrací směrem k centru, jiné však již nikoli a soubor všech částic se tak od sebe rozptyluje. Molekuly se v důsledku náhodného pohybu rozptýlí - difundují do okolí. Celková entropie systému se zvýší.

(To ovšem v žádném případě neznamená, že by difuze přímo vyplývala z Brownova pohybu či naopak.)

Odvození Einsteinova vzorce pro Brownův pohyb

Vyjdeme z Langevinovy rovnice (rovnice pro popis Brownova pohybu): :m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\xi v+F'(t) kde v je rychlost, F'(t) fluktuující síla, ξ je frikční koeficient.

Pro frikční koeficient vyjdeme ze Stokesovy formule pro kouli (předpokládáme kulatou částici): F_f=\xi v= 6 \pi \mu r v Kde μ je dynamická viskozita. r je poloměr částice.

Vynásobíme langevinovu rovnici souřadnicí: :m x_i \frac{\mathrm{d}\dot{x}_i}{\mathrm{d}t}=-\xi x_i \dot{x}_i +F'(t) x_i Upravíme (derivace součinu): :m[ \frac{\mathrm{d}\dot{x}_i x_i}{\mathrm{d}t}-\dot{x}_i \dot{x}_i ]=-\xi x_i \dot{x}_i +F'(t) x_i Střední hodnota: :m -m =-\xi + Souřadnice je nekorelovaná, proto vymizí ve střední hodnotě:=0

Ekvipartiční teorém ve 3D:1/2 mv^2 =3/2 kT kde k je Boltzmanova konstanta a T je termodynamická teplota

Po úpravě dostaneme: :m -3kT =-\xi Řešení této diferenciální rovnice je (protože (0)=0): := \frac{3kT}{\xi}(1-\exp(-\xi t/m)) Provedeme trik s derivací a dosadíme do následujícího výrazu výraz výše: :1/2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} =1/2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}= Dostaneme: : =\frac{6kT}{\xi}\int (1-\exp(-\xi t/m)) \mathrm{d}t=\frac{6kT}{\xi}[t-m/\xi (1-\exp(-\xi t/m))] Aproximace: t \xi/m>>1 odpovídá Brownově pohybu. Výsledek se redukuje na: : =\frac{6kT}{\xi}t=\frac{kT}{\pi \mu r}t

Což je výsledek pro Brownův pohyb ve 3D.

Kdybychom chtěli 1D Brownův pohyb, postup by byl stejný, až na ekvipartiční teorém, který v 1D zní 1/2 mv^2 =1/2 kT, jelikož máme jen jeden stupeň volnosti. Dostaneme pak následující vzorec pro Brownův pohyb v 1D: : =\frac{2kT}{\xi}t=\frac{kT}{3 \pi \mu r}t