Burnsideův problém

Burnsideův problém je jeden z nejstarších a nejslavnějších problémů z teorie grup. V základní podobě byl formulován roku 1902 Williamem Burnsidem. Později byl zobecněn a ačkoli mnohé speciální případy tohoto problému již byly vyřešeny, v plné obecnosti zůstává i v současnosti (květen 2007) jedním z otevřených problémů.

Obecný Burnsideův problém

Formulace

Nechť G je grupa. Množina X\subseteq G se nazývá množinou generátorů G, lze-li každý prvek G vyjádřit jako konečný součin prvků z X a jejich inverzí (tj. +more prvků tvaru x^{-1} pro x\in X). Grupa se nazývá konečně generovaná, má-li konečnou množinu generátorů.

Grupa G se nazývá periodická (také torzní) pokud ke každému g\in G existuje n, že g^n=1.

Obecný Burnsideův problém lze formulovat následujícím způsobem: :Nechť G je konečně generovaná periodická grupa. Musí pak G být konečná?

Řešení

Řešení obecného Burnsideova problému je negativní. V roce 1964 sestrojili Golod a Šafarevič příklad nekonečné periodické konečně generované grupy (jejich grupa byla dokonce p-grupou).

Burnsideův problém

Formulace

Burnsideův problém je upřesněním obecného Burnsideova problému. Zní následovně: :Nechť je dáno přirozené n a grupa G konečně generovaná a splňující g^n=1 pro všechny své prvky g. +more Musí pak G být konečná.

Částečná řešení

Roku 1968 Adian a Novikov ukázali, že pro každé liché n > 4381 je odpověď negativní. Zajímavou třídou protipříkladů jsou takzvaná Tarského monstra pocházející z roku 1982. +more V plné obecnosti zůstává problém dodnes nevyřešen.

Omezený Burnsideův problém

Formulace

Omezený Burnsideův problém byl položen v roce 1930. Lze ho formulovat takto: :Existuje jen konečně mnoho (neizomorfních) konečných grup generovaných r prvky a splňujících g^n=1 pro všechna g\in G, kde r a n jsou daná přirozená čísla?

Řešení

Kladnou odpověď na tento problém podal roku 1991 Zelmanov. Za toto řešení obdržel roku 1994 Fieldsovu medaili. +more Zelmanovovo řešení používá teorii Lieových algeber.

Odkazy

Související články

William Burnside * Golodova věta * Efim Izakovič Zelmanov

Externí odkazy

[url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Burnside_problem.html]A History of the Burnside Problem[/url]

Kategorie:Teorie grup Kategorie:Matematické problémy