Cesko.wiki Carmichaelova funkce
Author
Albert FloresCarmichaelova funkce, pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi, je funkce z oboru teorie čísel značená λ(n), která pro přirozené číslo n vrátí nejmenší m takové, že :a^m \equiv 1 \pmod{n} pro všechna přirozená čísla a menší než n a nesoudělná s n. Tedy vrátí exponent multiplikativní grupy celých čísel modulo n.
Prvních 26 hodnot této funkce pro n = 1, 2, 3 … je 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12, …
Carmichaelova věta
Carmichaelova věta říká, že Carmichaelovu funkci lze definovat se stejným výsledkem také pomocí rekurze:
Pro prvočíslo p a kladné celé číslo k takové, že p≥3 nebo k≤2 definujeme :\lambda(p^k) = p^{k-1}(p-1)\,, což zároveň odpovídá hodnotě Eulerovy funkce.
Pro celá čísla k≥3 definujeme :\lambda(2^k) = 2^{k-2}\,
a pro různá prvočísla p_1,p_2,\ldots,p_t a kladná celá čísla k_1,k_2,\ldots,k_t definujeme :\lambda(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}) = \mathrm{NSN}( \lambda(p_1^{k_1}), \lambda(p_2^{k_2}), \ldots, \lambda(p_t^{k_t}) )
kde \mathrm{NSN} značí nejmenší společný násobek.
Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky Malé Fermatovy věty a Eulerovy věty.