Cesko.wiki Eulerova věta (teorie čísel)
Technology
12 hours ago
8
4
2
Author
Albert FloresEulerova věta v teorii čísel je matematické tvrzení, které popisuje vztah mezi Eulerovou funkci φ(n) a rozkladem přirozeného čísla n na prvočísla. Tato věta byla formulována slavným matematikem Leonhardem Eulerem v 18. století. Podle Eulerovy věty platí, že pro každé přirozené číslo n platí následující rovnost: φ(n) = n(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)...(1 - 1/pk), kde φ(n) je Eulerova funkce, která udává počet čísel menších než n a nesoudělných s n, p1, p2,..., pk jsou prvočíselné faktory čísla n. Eulerova věta má mnoho důležitých důsledků a aplikací v teorii čísel a algebře. Například umožňuje výpočet Eulerovy funkce pro libovolné přirozené číslo n a také poskytuje informace o kongruencích mezi čísly. V článku Eulerova věta (teorie čísel) na české Wikipedii se podrobněji zabýváme formulací věty, důkazem a různými aplikacemi v teorii čísel.
Eulerova věta (také známá jako Eulerova-Fermatova věta) je v teorii čísel označení pro tvrzení, které říká, že pro každé přirozené číslo n a přirozené číslo a nesoudělné s n platí :a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}, kde φ(n) je Eulerova funkce a "... ≡ ... (mod n)" značí kongruenci, tedy rovnost ve smyslu modulární aritmetiky.
Věta je zobecněním Malé Fermatovy věty, naopak ji samu zobecňuje Carmichaelova věta.
Důkaz
Leonhard Euler větu dokázal v roce 1736. Řečen moderní terminologií, důkaz vypadá následovně: Čísla 0<a<n nesoudělná s n tvoří spolu s násobením grupu G o φ(n) prvcích. +more Řád prvku odpovídající řádu cyklické grupy jím generované musí podle Lagrangeovy věty dělit řád grupy G. A výsledkem umocnění prvku na násobek jeho řádu musí být neutrální prvek.