Lagrangeova věta (teorie grup)

Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.

Přesné znění

Pro grupu G a její podgrupu H platí:

: |G|=[G:H]\cdot |H|, kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy (počet levých cosetů H v G).

Důkaz

Nejprve ukážeme, že levé cosety gH=\{gh;\;h\in H\} tvoří dohromady pro \forall g \in G rozklad množiny G. Protože x\cdot e=x\in xH, nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. +more Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak xH \cap yH\ne\emptyset pro nějaké x,y\in G. Jinými slovy pro nějaká h_1,h_2\in H musí být x\cdot h_1 = y\cdot h_2. Vynásobením na pravé straně prvkem h_2^{-1} dostaneme x\cdot h_1\cdot h_2^{-1}=y. Pro jednoduchost provedeme substituci t=h_1\cdot h_2^{-1}. Vzhledem k definici podgrupy t\in H, a proto.

yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}.

yH\subset xH, neboť rovněž (th)\in H, a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali xH\subset yH, a proto yH=xH. +more Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.

Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro \forall x \in G. Definujme f rovnicí

f(h)=xh

* Důkaz injektivity: Předpokládejme f(h_1)=f(h_2).

x\cdot h_1=x\cdot h_2. Obě strany vynásobíme zleva prvkem x^{-1}

x^{-1}\cdot x\cdot h_1=x^{-1}\cdot x\cdot h_2

h_1=h_2

* Surjektivita je zřejmá z definice.

Nechť [G/H] značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. +more Z těchto úvah plyne |G|=[G/H]\cdot |H|.

QED.

Důsledky

Řád každého prvku a\in G , neboli nejnižší přirozené číslo n, pro které a^n=e, je řád cyklické grupy generované prvkem a, a proto podle Lagrangeovy věty n dělí řád grupy G. Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než Eulerova-Fermatova věta. +more Dá se ukázat, že množina zbytků modulo n, které jsou s n nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je e = 1; existence inverzního prvku je důsledek Bézoutovy rovnosti pro gcd(g,n) = 1; asociativita vyplývá z vlastností modulární aritmetiky; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s n je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo n. Řád takové grupy je právě \varphi (n), což je Eulerova funkce. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek g nějaký řád k, který je dělitelem čísla \varphi (n). Odtud plyne.

\varphi (n)=kd, kde d\in\mathbb{Z}

g^{\varphi (n)}=g^{kd}=({g^k})^d=e^d=e

což je ekvivalentí zápisu

g^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}.

Příbuzná tvrzení

Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

Související články

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu - také známa jako Lagrangeova věta * Sylowovy věty

Kategorie:Algebra Kategorie:Teorie grup Kategorie:Matematické věty a důkazy