Sylowovy věty

Technology

12 hours ago

Author

Sylowovy věty je souhrnný název pro několik matematických vět z oblasti teorie grup. Jsou částečným obrácením Lagrangeovy věty - zaručují pro prvočíselné dělitele p řádu grupy G existenci podgrup složených z prvků řádu p a dávají dodatečnou informaci o jejich počtu a vlastnostech. Pojmenovány byly po norském matematikovi Ludwigu Sylowovi.

Sylowova p-podgrupa

Sylowovou p-podgrupou grupy G, kde p je prvočíslo, nazýváme každou její podgrupu, která je maximální p-grupou (tj. takovou H ≤ G, že každý prvek H má řád mocniny p a H je maximální s touto vlastností). +more Množina všech Sylowových p-podgrup grupy G se značí Syl_p(G).

Znění vět

Znění i počet Sylowových vět se u různých autorů liší. Jako celek však Sylowovy věty dávají vždy tutéž informaci.

První Sylowova věta

:Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo dělící její řád. Pak všechny Sylowovy p-podgrupy G jsou konjugovány (pro P, Q ∈ Syl_p(G) existuje g ∈ G, že P=gQg^{-1}) a jejich počet je kp+1 pro nějaké 0 ≤ k (tj. +more |Syl_p(G)| ≡ 1 (mod p)).

Důsledky

Všechny Sylowovy p-podgrupy G jsou izomorfní. * Konečná grupa G obsahuje prvek řádu p pro každé prvočíslo p, které dělí řád G. +more * Konečná grupa je p-grupou, právě když je řádu mocniny p.

Druhá Sylowova věta

:Nechť G je konečná grupa řádu n=p^as,kde p je prvočíslo, které nedělí s a a>0. Pak všechny Sylowovy p-podgrupy G mají řád p^a.

Třetí Sylowova věta

:Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo takové, že p^{k+1} dělí řád G. Nechť dále H je podgrupa G (H ≤ G) řádu p^k. +more Pak existuje grupa K řádu p^{k+1} splňující H\triangleleft K\leq G (tj. H je normální v K).