Cesko.wiki Charakteristická rovnice
Author
Albert FloresCharakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, které lze obecně zapsat :a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y' + a_{0}y = 0 kde y \, je závislá proměnná a a_{n}, a_{n-1}, \ldots , a_{1}, a_{0} jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru :a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0 Z kořenů r^{n}, r^{n-1}, \ldots ,r charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge.
Derivace
Hledáme-li řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a_{n}, a_{n-1}, \ldots , a_{1}, a_{0}, :a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y^{'} + a_{0}y = 0 vidíme, že pokud by se řešení rovnalo y(x) = e^{rx} \, , každý sčítanec v rovnici bude konstantním násobkem e^{rx} \, . To pramení z faktu, že derivace exponenciální funkce e^{rx} \, je násobkem původní funkce, čili y' = re^{rx} \, , y = r^{2}e^{rx} \, a y^{(n)} = r^{n}e^{rx} \, jsou všechno násobky e^{rx} \, . +more To naznačuje, že určité hodnoty r \, dovolují, aby součet násobků e^{rx} \, dával nulu, a řešil homogenní diferenciální rovnici. Abychom zjistili hodnotu r \, , dosadíme funkci y = e^{rx} \, a její derivace do diferenciální rovnice za y a jeho derivace, čímž dostaneme :a_{n}r^{n}e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_{1}re^{rx} + a_{0}e^{rx} = 0 Protože e^{rx} \, není nikdy rovno nule, můžeme jím rovnici vydělit, čímž dostaneme charakteristickou rovnici :a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0 Když nalezneme kořeny r \, této charakteristické rovnice, můžeme z nich sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Například jestliže se jeden kořen rovná 3, pak obecné řešení bude y(x) = ce^{3x} \, , kde c \, je konstanta.
Sestrojení obecného řešení
{{Rámeček s textem|35%|#ffffaa|right|Příklad| Lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty : y^{(5)} + y^{(4)} - 4y^{(3)} - 16y -20y' - 12y = 0 \, má charakteristickou rovnici : r^{5} + r^{4} - 4r^{3} - 16r^{2} -20r - 12 = 0 \, . Její faktorizací dostaneme : (r - 3)(r^{2} + 2r + 2)^{2} = 0 \, z čehož vidíme, že řešeními rovnice je jeden jednoduchý kořen r_{1} = 3 \, a dvě dvojice komplexních kořenů r_{2,3,4,5} = -1 \pm i . +more Z toho plyne, že diferenciální rovnice má reálné obecné řešení : y(x) = c_{1}e^{3x} + e^{-x}(c_{2} \cos x + c_{3} \sin x) + xe^{-x}(c_{4} \cos x + c_{5} \sin x) \, kde c_{1} , \ldots , c_{5} jsou reálné konstanty}} Naleznutí kořenů r_{1}, \ldots , r_{n} charakteristické rovnice, nám umožňuje sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Kořeny mohou být reálné i komplexní a jednoduché nebo vícenásobné. Jestliže charakteristická rovnice má složky s jednoduchými reálnými kořeny, h \, násobnými kořeny a k \, komplexními kořeny po řadě odpovídajícími obecným řešením y_{D}(x) \, , y_{R_{1}}(x), \ldots , y_{R_{h}}(x) a y_{C_{1}}(x), \ldots , y_{C_{k}}(x) , pak obecné řešení diferenciální rovnice je : y(x) = y_{D}(x) + y_{R_{1}}(x) + \cdots + y_{R_{h}}(x) + y_{C_{1}}(x) + \cdots + y_{C_{k}}(x).
Jednoduché reálné kořeny
Princip superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty říká, že jestliže u_{1}, \ldots , u_{n} jsou n \, lineárně nezávislé řešení určité diferenciální rovnice, pak jejich každá lineární kombinace c_{1}u_{1} + \cdots + c_{n}u_{n} je také řešením rovnice pro libovolné hodnoty c_{1}, \ldots , c_{n}. Proto pokud má charakteristická rovnice jednoduché reálné kořeny r_{1}, \ldots , r_{n} , její obecné řešení bude mít tvar : y_{D}(x) = c_{1}e^{r_{1}x} + c_{2}e^{r_{2}x} + \cdots + c_{n}e^{r_{n}x}
Vícenásobné reálné kořeny
Jestliže charakteristická rovnice má k \, násobný kořen r_{1} \,, pak je zřejmé, že y_{p}(x) = c_{1}e^{r_{1}x} je alespoň jedno její řešení. Ale toto řešení není lineárně nezávislé s dalšími k - 1 \, kořeny. +more Protože r_{1} \, má násobnost k \, , diferenciální rovnici můžeme faktorizovat na : \left ( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} - r_{1} \right )^{k}y = 0 Skutečnost, že y_{p}(x) = c_{1}e^{r_{1}x} je jedno řešení, nám umožňuje předpokládat, že obecné řešení má tvar y(x) = u(x)e^{r_{1}x} \, , kde u(x) \, je funkce, kterou je třeba nalézt. Substituce ue^{r_{1}x} \, dává : \left ( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} - r_{1} \right ) ue^{r_{1}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(ue^{r_{1}x}) - r_{1}ue^{r_{1}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u)e^{r_{1}x} + r_{1}ue^{r_{1}x}- r_{1}ue^{r_{1}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u)e^{r_{1}x} pro k = 1 \, . k \, násobným použitím této skutečnosti dostáváme : \left ( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} - r_{1} \right )^{k} ue^{r_{1}x} = \frac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d}x^{k}}(u)e^{r_{1}x} = 0 což po vydělení e^{r_{1}x} \, dává : \frac{\mathrm{d}^{k}}{\mathrm{d}x^{k}}(u) = u^{(k)} = 0 To platí právě tehdy, když u(x) \, je polynom stupně k-1 \, , neboli u(x) = c_{1} + c_{2}x + c_{3}x^2 + \cdots + c_{k}x^{k-1} . Protože y(x) = ue^{r_{1}x} \, , část obecného řešení odpovídající r_{1} je : y_{R}(x) = e^{r_{1}x}(c_{1} + c_{2}x + \cdots + c_{k}x^{k-1}).
Komplexní kořeny
Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny ve tvaru r_{1} = a + bi a r_{2} = a - bi , pak obecné řešení je y(x) = c_{1}e^{(a + bi)x} + c_{2}e^{(a - bi)x} \, . Použitím Eulerova vzorce e^{i \theta } = \cos \theta + i \sin \theta \, můžeme toto řešení upravit: :\begin{array}{rcl} y(x) &=& c_{1}e^{(a + bi)x} + c_{2}e^{(a - bi)x}\\ &=& c_{1}e^{ax}(\cos bx + i \sin bx) + c_{2}e^{ax}( \cos bx - i \sin bx ) \\ &=& (c_{1} + c_{2})e^{ax} \cos bx + i(c_{1} - c_{2})e^{ax} \sin bx \end{array} kde c_{1} \, a c_{2} \, jsou libovolné (i komplexní) konstanty.
Pokud použijeme konstanty c_{1} = c_{2} = \tfrac{1}{2} , pak dostaneme partikulární řešení y_{1}(x) = e^{ax} \cos bx \, .
Pokud použijeme konstanty c_{1} = \tfrac{1}{2}i a c_{2} = - \tfrac{1}{2}i , pak dostaneme lineárně nezávislé řešení y_{2}(x) = e^{ax} \sin bx \, . Díky principu superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, můžeme příspěvek k obecnému řešení diferenciální rovnice pro dvojici komplexně sdružených kořenů r = a \pm bi \, vyjádřit vzorcem y_{C}(x) = e^{ax}(c_{1} \cos bx +c_{2} \sin bx ) \, .