Cesko.wiki Distribuční funkce
Author
Albert Floresnormálních rozdělení s různými charakteristikami. Červenou čárou je vyznačeno normované normální rozdělení Distribuční funkce, funkce rozdělení nebo (spíše lidově) (zleva) kumulovaná pravděpodobnost je funkce, která udává pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné je menší než zadaná hodnota.
Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení pravděpodobnosti a ve spojitém případě je úzce spjatá s hustotou pravděpodobnosti.
Definice
V horním obrázku je vyobrazena diskrétní distribuční funkce, v prostředním spojitá distribuční funkce, ve spodním obrázku nespojitá distribuční funkce spojité náhodné proměnné Nechť X je náhodná proměnná z určitého rozdělení a x je libovolné reálné číslo. +more Potom funkci F:\mathbb{R}\to\langle0,1\rangle definovanou předpisem.
:F(x)=\mathrm{P}(X\le x)
nazýváme distribuční funkce tohoto rozdělení.
Diskrétní proměnná
Pokud existuje posloupnost realizací náhodné proměnné \{x_n\} tak, že pro \sum_n\mathrm{P}(X=x_n)=1, pak nazveme p_n=\sum_n\mathrm{P}(X=x_n) diskrétním rozdělením pravděpodobností náhodné veličiny a pro proměnnou diskrétního typu X platí: : F(x)=\sum_{n: x_n\leq x}p_n, kde p_n jsou pravděpodobnosti jednotlivých hodnot x_n.
Spojitá proměnná
Pokud je X spojitá náhodná proměnná s hustotou f(x), potom platí:
:F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,\mathrm{d}t.
Náhodný vektor
Nechť \mathbf{X} je náhodný vektor v \mathbb{R}^N a \mathbf{x} je libovolný vektor hodnot. Distribuční funkci F_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) definujeme jako:
F_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})=\mathrm{P}(X_1 \leq x_1,X_2 \leq x_2,\dots,X_n\leq x_n)
pro libovolný vektor \mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n).
Vlastnosti distribuční funkce
| Popis | Matematická formulace |
|---|---|
| Definiční obor | 0\leq F(x)\leq 1 |
| Monotonie | \alpha |
| Asymptotické vlastnosti | \lim_{x\to+\infty}F(x)=1 \lim_{x\to-\infty}F(x)=0 |
| Pravděpodobnost intervalu | \mathrm{P}(\alpha |
| Spojitost zprava | \lim_{x\to\alpha^{+}}F(x)=F(\alpha) |
| Skok distribuční funkce | \mathrm{P}(X=x_0)=F(x_0)-\lim_{x\to x_0^-}F(x) |
| Kontinuita distribuční funkce zprava | \mathrm{P}(X |
| Konečný počet bodů nespojitosti prvního řádu (skoků) | \lim_{n\to\infty}[F(x_i+\varepsilon_i)-F(x_i-\varepsilon_i)]=0 |
Important
Příklady
V následující tabulce jsou uvedeny příklady distribučních funkcí. Distribuční funkci není možné vždycky vyjádřit explicitním vzorcem, jako je tomu u normálního rozdělení. +more V tomto případě se používá přímo definice distribuční funkce ve spojitém případě jako funkce horní hranice.
| Rozdělení | Distribuční funkce |
|---|---|
| Rovnoměrné rozdělení na intervalu [\alpha,\beta] | F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x\beta\end{array}\right. |
| Normální rozdělení | F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int\limits_{-\infty}^{x}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\} |
| Exponenciální rozdělení | F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x |