Cesko.wiki Dolní a horní množina
Author
Albert FloresHorní množina a dolní množina jsou matematické pojmy z oboru teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání, které formalizují představu množiny, která obsahuje „s každým svým prvkem i všechny menší“ (dolní množina), resp. „s každým svým prvkem i všechny větší“ (horní množina).
Definice
Předpokládejme, že množina A je uspořádána relací R a B je podmnožina A.
Řekneme, že B je dolní množina, pokud s každým svým prvkem obsahuje i všechny menší prvky množiny A, tj.
( \forall a, b \isin A) (( b \isin B \land a \leq_R b) \implies a \isin B)
Řekneme, že B je horní množina, pokud s každým svým prvkem obsahuje i všechny větší prvky množiny A, tj.
( \forall a, b \isin A) (( b \isin B \land b \leq_R a) \implies a \isin B)
Příklady
Uvažujme množinu R \,\. všech reálných čísel s jejím běžným uspořádáním podle velikosti. +more * Horní množiny na R \,\. jsou právě všechny shora neomezené intervaly (ať již zdola otevřené nebo uzavřené). * Dolní množiny na R \,\. jsou právě všechny zdola neomezené intervaly (ať již shora otevřené nebo uzavřené).
Uvažujme množinu Z^{+} \,\. všech celých kladných čísel částečně uspořádanou relací S = { [a,b] : a dělí b }. +more * Každá dolní množina musí obsahovat číslo 1, protože 1 dělí každé číslo, takže (\forall x)( 1 \leq_S x) \,\. * Ze stejného důvodu existuje pouze jedna horní množina, která obsahuje číslo 1 - je to celá množina Z^{+} \,\. Platí totiž, že 1 dělí každé kladné celé číslo a pokud má horní množina obsahovat jedničku, musí obsahovat i všechna čísla, která jsou dělitelná jedničkou. * Množina obsahující pouze číslo 1 a nějaká prvočísla je dolní množina (například {1,3,5,13}, ale také nekonečná množina obsahující číslo 1 a všechna prvočísla). * Množina obsahující všechna čísla ze Z^{+} \,\. kromě čísel 1,2,3,4 a 11 je horní množina. * Zajímavé je, že množina všech sudých čísel je horní množina v Z^{+} \,\. - s každým číslem obsahuje i všechny jeho násobky. Naproti množina všech lichých čísel je dolní množina v Z^{+} \,\. - s každým číslem obsahuje i všechny jeho dělitele. V tomto příkladě je dobře vidět, jak moc záleží na tom, jaké zvolíme uspořádání. Kdybychom místo dělitelnosti zvolili běžné uspořádání podle velikosti, pak množina sudých čísel rozhodně nebude horní a množina lichých čísel rozhodně nebude dolní (na to by byly příliš „děravé“).