Cesko.wiki Hlavní ideál (teorie okruhů)
Author
Albert FloresHlavní ideál je pojem z matematické teorie okruhů, který popisuje množinu všech prvků, jejichž součin s libovolným prvkem okruhu je nulový. Hlavní ideál je definován jako jednostranný ideál, což znamená, že obsahuje pouze násobky prvků okruhu. Hlavní ideál hraje důležitou roli v teorii okruhů a algebraické geometrii. Je spojen s pojmem "generátor", což je prvek, kterým lze všechny prvky hlavního ideálu vyjádřit. Pokud je okruh komutativní, pak je hlavní ideál generován právě jedním prvkem. V článku se postupně rozebírá definice a vlastnosti hlavního ideálu, jako je inkluzní relace mezi hlavními ideály (jeden hlavní ideál může být obsažen v druhém hlavním ideálu), operace s hlavními ideály (součet a průnik) a jeho polohování v příslušném halucinučnosti. Také se zabývá speciálními případy, jako jsou hlavní ideály v oblastech a polynomiálních okruzích. Článek také uvádí konkrétní příklady hlavních ideálů v různých typech okruhů, jako jsou celá čísla, polynomy v jedné proměnné nebo maticové okruhy. Popsané vlastnosti a příklady mají sloužit jako podpora pro další studium hlavních ideálů a jejich využití v matematice.
Hlavní ideál v teorii okruhů je takový ideál I v okruhu R, který lze generovat jediným prvkem a z okruhu R.
Tedy: * levý hlavní ideál okruhu R je podmnožina okruhu R daná předpisem Ra := {ra : r in R}; * pravý hlavní ideál okruhu R je podmnožina okruhu R daná předpisem aR := {ar : r in R}; * a oboustranný hlavní ideál je podmnožina okruhu R daná předpisem RaR := {r1as1 + . + rnasn : r1,s1,. +more,rn,sn in R}. Pokud je R komutativní okruh, pak tyto pojmy splývají. V takovém případě je běžné ideál generovaný prvkem a zapisovat pomocí závorek (a).
Příklad hlavního ideálu je například jakýkoliv ideál okruhu celých čísel - jedná se totiž o takzvaný obor hlavních ideálů, tedy obor integrity, ve kterém je každý ideál hlavní.
Příklad ideálu, který není hlavní, lze nalézt například v komutativním okruhu mnohočlenů C[x,y], tedy v okruhu, který je tvořen mnohočleny ve dvou proměnných s koeficienty z množiny komplexních čísel. Jedním takovým ideálem je (x,y), který obsahuje všechny nenulové mnohočleny, které mají nulový absolutní člen. +more Pokud by tyto všechny byly generovány nějakým p, pak by musely být dělitelné p. Tedy p by muselo dělit x a y, což splňují jen konstanty. Ovšem daný ideál žádné nenulové konstanty neobsahuje.