Hölderova nerovnost

Technology
12 hours ago
8
4
2
Avatar
Author
Albert Flores

Hölderova nerovnost, také známá jako Hölderova věta, je matematická nerovnost, která byla pojmenována po německém matematikovi Oskaru Holderovi. Tato nerovnost se týká integrálu součinu dvou funkcí a umožňuje odhadnout hodnotu tohoto integrálu pomocí maximálních hodnot jednotlivých funkcí. Hölderova nerovnost je důležitým nástrojem zejména v analýze a teorii míry. Tato nerovnost je součástí širší rodiny nerovností, které jsou známé jako Minkowského nerovnosti. Tato stránka na Wikipedii poskytuje detailní informace o Hölderově nerovnosti včetně formálního vyjádření, důkazů a příkladů aplikace této nerovnosti v matematice.

Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.

Znění

Na prostoru s mírou (X, \Sigma, \mu) mějme μ-měřitelné funkce f, g na X. Dále nechť existují čísla 1 \le p, q \le \infty, taková, že: 1/p + 1/q = 1. +more Pak platí: :\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q.

Důležité speciální případy

Pro následující případy předpokládejme, že 1 a 1/p+1/q = 1.

Aritmetická míra

V případě n-rozměrného Eukleidovského prostoru a_k, b_k \in \mathbb{C}^n, s množinou X = \{1, ..., n\} a \mu aritmetickou mírou dostáváme: :\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{1/q}.

Rovnost nastává, právě když |b_k|=c|a_k|^{p-1}.

Lp prostory

Pokud f \in L^p(X), g \in L^q(X), tak f \cdot g \in L^1(X) a navíc: :\int_X |f \cdot g | \, \mathrm{d} \mu \le \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p} \cdot \left(\int_X |g|^q \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/q}

Pro p = q = 2 pak dostáváme Cauchyho-Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.

Důkaz

Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a x\in platí xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}. Rovnost nastává, právě když r=s nebo x\in\{0,1\}. +more Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.

Kategorie:Nerovnosti Kategorie:Matematická analýza

5 min read
Share this post:
Like it 8

Leave a Comment

Please, enter your name.
Please, provide a valid email address.
Please, enter your comment.
Enjoy this post? Join Cesko.wiki
Don’t forget to share it
Top