Lp prostor

Lp prostor je v matematické analýze normovaný prostor funkcí integrovatelných s p-tou mocninou.

Definice

Nechť (X,\mathcal A,\mu) je prostor s mírou a f je měřitelná funkce na X. Pak pro p \in \langle 1, \infty ) definujeme:

:\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p}

a dále definujeme:

:\|f\|_\infty = \mathrm{ess } \sup

f(x)

= \inf{\{ c \ge 0 : |f| \le c \}}, kde nerovnost |f| \le c platí skoro všude na X,

pak pro p \in \langle 1, \infty ) konečně definujeme \mathcal{L}^p prostor jako následující množinu měřitelných funkcí:

:\mathcal{L}^p(X) = \{ f : \|f\|_p .

Zobrazení \| \cdot \|_p není přísně vzato normou, protože funkce, která je nulová pouze skoro všude, se zobrazí na nulu, ale definice normy požaduje, aby se na nulu zobrazil pouze nulový vektor, v tomto případě nulová funkce. Ostatní vlastnosti normy jsou ovšem splněny (trojúhelníková nerovnost plyne z Minkowského nerovnosti). +more Z rigorózního hlediska je tedy ještě potřeba zavést jiný druh prostoru, označme ho L^p, jehož prvky už nebudou funkce, ale třídy ekvivalence funkcí, které jsou si rovny skoro všude. Sčítání a skalární násobení prvků L^p zavedeme přirozeným způsobem a norma třídy je pak dána výše definovanou „normou“ jejího libovolného prvku, neboť ty jsou si v dané třídě všechny rovné. Prvky těchto dvou druhů prostorů se obvykle nerozlišují značením ani pojmenováním.

Vlastnosti

Teoreticky je možné uvažovat i \mathcal{L}^p prostory pro p , lze ale ukázat, že \| \cdot \|_p pak není norma. Naopak, pro p \ge 1 je \mathcal{L}^p prostor Banachovým prostorem, pro p=2 dokonce Hilbertovým prostorem.

Příklady

Prostory \mathcal{L}^p(\Omega) pro množinu \Omega \subseteq \R^n s Lebesgueovou mírou. * Prostory \ell^p, definované jakožto \mathcal{L}^p-prostory nad množinou přirozených čísel s aritmetickou mírou. +more Prvky \ell^p jsou tedy jisté posloupnosti čísel.

Kategorie:Algebra Kategorie:Matematická analýza