Ideál (teorie okruhů)

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi. * Tak jako normální podgrupy jsou speciálními případy podgrup, jsou rovněž ideály jisté podmnožiny daného okruhu.

Definice

Množina \emptyset \neq I \subseteq R, kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti: * pro každé a,b \in I je také a-b \in I * pro každé a \in I a každé r \in R je také r\cdot a \in I resp. +more a\cdot r \in I Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

Nechť (R, +, •) je okruh, M je libovolná podmnožina množiny R. Potom průnik všech ideálů v R, které obsahují množinu M, je ideál v R, který se nazývá ideálem generovaným množinou a značí se [M]. +more Množina M se nazývá systém generátorů ideálu [M] a její prvky generátory tohoto ideálu.

Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál R.

Příklady ideálů

V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. +more Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní. * Každá podmnožina tvaru (a)=\{a\cdot r;r\in R\} je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R. * V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2). * Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (Q,+,•) tvoří celá čísla podokruh (Z,+,•). Ten však není ideálem v Q, neboť nesplňuje podmínku: pro každé a \in I a každé r \in R je také r\cdot a \in I resp. a\cdot r \in I. Stačí volit třeba a = 3, r = { \frac{1}{2}} , pak 3 \in Z a 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z.

Operace s ideály

průnik ideálů I,J je ideál I\cap J, který je největším ideálem, obsaženým v obou ideálech I,J. * součet ideálů I,J je ideál \,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J. +more * součin ideálů I,J je ideál I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}.

Vlastnosti

Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li I \neq R a pro každý ideál J, že I\subseteq J, je I = J nebo J = R. * Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé a,b \in R takové, že a\cdot b \in I, je buďto a \in I nebo b \in I. +more * Jsou-li a_1, a_2, … , a_k libovolné prvky z ideálu I v okruhu R, je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z R prvkem ideálu I, tj. (\forall r_1, r_2, … , r_k \in R) a_1r_1 + a_2r_2 + … + a_kr_k \in I.

Příklad:

V okruhu celých čísel Z máme určit ideál I = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. +more Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ I a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ I . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje I všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina I okruhu R je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v Z, je I = {. , -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, . }.

Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál I z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. I = [2], a též například I = [6, 8, -10].

Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. +more existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

* Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh. * Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity. +more * Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.

Věta

Nechť R je okruh s jednotkovým prvkem a nechť M = \{a_1, a_2, … , a_k \sube R\}. Pak ideál [M] se skládá právě ze všech prvků tvaru (\forall r_1, r_2, … , r_k \in R) a_1r_1 + a_2r_2 + … + a_kr_k \in I, tj. +more [M] = I, kde I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + … + a_kr_k; r_1, r_2, … , r_k\in R\}.

Příklad užití této věty

V okruhu Z[x] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [x, 2]. Podle věty výše (v Z[x] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) kde f_1(x),f_2(x) \in Z[x].

Tedy [x, 2] je množina všech polynomů a_0 + a_1x + … + a_x x^n \in Z[x], jejíž člen a0 je sudé číslo. Ideál [x, 2] je tudíž vlastní podmnožina v Z[x].

Odkazy

Literatura

BLAŽEK, Jaroslav, KOMAN, Milan a VOJTÁŠKOVÁ, Blanka. Algebra a teoretická aritmetika. +more 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 258 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství).

Související články

Ideál (teorie uspořádání) * Ireducibilní ideál * Normální podgrupa

Kategorie:Algebraické struktury Kategorie:Teorie okruhů