Jednostranná limita

Jednostranná limita je v infinitezimálním počtu libovolná z limit funkce f(x) reálné proměnné x, u nichž se x přibližuje k zadanému bodu buď zleva nebo zprava.

Levá limita - limita pro x blížící se k bodu a „zprava“ („shora“) se značí

:\lim_{x\to a^+}f(x)\ , \lim_{x\downarrow a}\,f(x), \lim_{x \searrow a}\,f(x), případně \lim_{x \underset{>}{\longrightarrow} a}f(x),

pravá limita - limita pro x blížící se k bodu a „zleva“ („zdola“) se značí

:\lim_{x\to a^-}f(x)\ , \lim_{x\uparrow a}\, f(x), \lim_{x \nearrow a}\,f(x), případně \lim_{x \underset{

V teorii pravděpodobnosti je obvyklé používat zkrácenou notaci:

:f(x-) pro levou limitu a f(x+) pro pravou limitu.

Existence oboustranné limity

Obě jednostranné limity existují a jsou si rovné, jestliže limita funkce f(x) pro x blížící se hodnotě a existuje. V některých případech, kdy limita

:\lim_{x\to a} f(x)\,

neexistuje, mohou existovat obě jednostranné limity. Proto se limita pro x blížící se k bodu a bez omezení z jaké strany někdy nazývá „oboustranná limita“.

V některých případech jedna jednostranná limita existuje a druhá ne, v některých případech neexistuje ani jedna.

Limitu zprava lze přesně definovat jako

:\forall\varepsilon > 0\;\exists \delta >0 \;\forall x \in I \;(0

a limita zleva jako

:\forall\varepsilon > 0\;\exists \delta >0 \;\forall x \in I \;(0

kde je interval v definičním oboru funkce .

Příklady

Příklad funkce, která má v bodě 0 dvě různé jednostranné limity:

:\lim_{x \to 0^+}{1 \over 1 + 2^{-1/x}} = 1,

zatímco

:\lim_{x \to 0^-}{1 \over 1 + 2^{-1/x}} = 0.

Vztah k topologické definici limity

Jednostranná limita v bodě p odpovídá obecné definici limity, s definiční oborem funkce omezeným na jednu stranu; buď omezením, kdy definiční obor funkce je podmnožinou topologického prostoru nebo uvažováním jednostranného podprostoru obsahujícího p. Alternativně můžeme uvažovat definiční obor s topologií polootevřených intervalů.

Abelova věta

Významná věta zabývající se jednostrannými limitami určitých mocninných řad na hranicích jejich poloměru konvergence je Abelova věta.

Odkazy

Reference

Související články

Projektivně rozšířená reálná osa * Semi-derivovatelnost * Limes superior a limes inferior

Externí odkazy

[url=https://planetmath.org/OnesidedLimit]one-sided limit[/url] - jednostranná limita na serveru PlanetMath

Kategorie:Reálná analýza Kategorie:Limity (matematika) Kategorie:Matematické funkce