Kardioida

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Kardioida je matematická křivka, která je definována pomocí parametrické rovnice. Jde o jednu z nejznámějších křivek, která vypadá jako srdce. Kardioida je symetrická a má tvar podobný listu. Název "kardioida" pochází z řeckého slova "kardia", což znamená srdce. Křivka se vyskytuje v různých oblastech matematiky, fyziky a techniky. V matematice se kardioida využívá k řešení geometrických a fyzikálních úloh, v technice například při konstrukci otáčivých zařízení, jako jsou radary. Kardioida má mnoho vlastností, jako je například středová symetrie, tangence s jednotkovou kružnicí a mnoho dalších. V kultuře se kardioida často používá jako symbol lásky a romantiky.

Vznik srdcovky kotálením Srdcovka a parabola navzájem zobrazené kruhovou inverzí Kardioida (z řeckého καρδία - srdce) neboli srdcovka je algebraická rovinná křivka 4. stupně (kvartika). Patří mezi kotálnice (cykloidy) a lze ji sestrojit jako trasu pevně daného bodu kružnice, která se kotálí kolem kružnice o stejném poloměru. Zároveň patří mezi konchoidy a lze ji konstruovat tak, že se na kružnici zvolí bod a na všech sečnách procházejících tímto bodem se vezmou body vzdálené od druhého průsečíku právě o poloměr řečené kružnice. Také ji lze získat jako obraz paraboly při kruhové inverzi.

Pojmenoval ji v roce 1741 italský matematik Giovanni Salvemini.

Srdcovka je součástí obrazce ve fraktálu Mandelbrotovy množiny.

Rovnice

Kardioida v kartézském souřadnicovém systému s vyznačenými konstrukčními kružnicemi Kardioidu lze popsat následujícím parametrickým vyjádřením v kartézských souřadnicích (a je poloměr kružnic při kotálení, počátek je v středu nehybné kružnice): : x = a (2\cos t - \cos 2 t - 1), \, : y = a (2\sin t - \sin 2 t). +more \, V komplexní rovině tomu odpovídá parametrizace : z = a (2e^{it} - e^{2it}). \, Příslušná obecná rovnice v kartézských souřadnicích je :(x^2+y^2-a^2)^2-4a^2((x-a)^2+y^2)=0, respektive v komplexní rovině :(z\bar{z}-a^2)^2 -4a^2(z-a)(\bar{z}-a)=0.

Další možností je zápis v polárních souřadnicích: : r = 2a(1 - \cos \theta).