Kartézská mocnina

Kartézská mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, odvozovaný z kartézského součinu podobným způsobem, jako je běžně používaná aritmetická mocnina odvozena ze součinu.

Definice

Základní definice pro přirozené exponenty

Pokud je X \,\. množina a n \,\. +more přirozené číslo, pak kartézskou mocninou X^n \,\. rozumíme n \,\. - násobný kartézský součin množiny X \,\. se sebou samou:.

X^n = \prod_{1 \leq i \leq n} X \,\!

Speciálně pro n = 2 \,\. dostáváme X^2 \,\. +more jako množinu všech uspořádaných dvojic prvků z X \,\. , pro n = 3 \,\. dostáváme X^3 \,\. jako množinu všech uspořádaných trojic prvků z X \,\. .

Obecná definice

Předchozí definici lze zobecnit tak, aby se nevztahovala pouze na konečné množiny:

Kartézskou mocninou X^Y \,\! množin X \,\! a Y \,\! rozumíme množinu všech zobrazení množiny Y \,\! do množiny X \,\! .

Všimněme si, že konkrétně pro Y konečné odpovídá tato definice (až na izomorfismus, jak bude vidět v následujícím příkladu, ale tím se není třeba zatěžovat) výše uvedené základní definici - všechny uspořádané dvojice z X \,\. nejsou nic jiného, než všechna zobrazení dvouprvkové množiny ( Y = \{ 0,1 \} \,\. +more nebo Y = \{ 1,2 \} \,\. ) do X \,\. . (Uspořádané n-tice prvků určité množiny se standardně definují jako zobrazení z {0,1,… n} nebo {1,2,… n} do této množiny. ) Zajímavá začíná být tato definice pro nekonečné Y \,\. .

Pokud vezmeme za Y \,\. množinu všech přirozených čísel \omega \,\. +more , dostáváme kartézskou mocninu X^{\omega} \,\. - tj. množinu všech nekonečných posloupností prvků množiny X \,\. .

Příklad

Mezi výše uvedenými definicemi je přece jen nepatrný rozdíl. Ukážeme si to na následujícím příkladu:

* podle první definice je 3^2 = \{ 0,1,2 \} \times \{ 0,1,2 \} = \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2],[2,0],[2,1],[2,2] \} \,\!

* podle druhé definice je 3^2 = \{ 0,1,2 \} ^{ \{ 0,1 \} } = \{ \{ [0,0],[1,0] \}, \{ [0,0],[1,1] \}, \{ [0,0],[1,2] \}, \{ [0,1],[1,0] \}, \ldots , \{ [0,2],[1,2] \} \} \,\!

Obě množiny se sice nepatrně liší způsobem, jakým je realizována posloupnost dvou prvků (v prvním případě jako uspořádaná dvojice, ve druhém jako zobrazení z dvouprvkové množiny), ale strukturu mají shodnou - jsou izomorfní.

Užití

Běžná analytická geometrie pracuje obvykle v afinní rovině nebo v afinním prostoru - což není nic jiného, než množiny \mathbb{R}^2 \,\. a \mathbb{R}^3 \,\. +more ( jako \mathbb{R} \,\. je zde označována množina všech reálných čísel). * Veškeré úvahy teorie množin týkající se binárních relací (například o ekvivalencích nebo o uspořádáních na dané množině X \,\. ) se odehrávají v množině uspořádaných dvojic z dané množiny, tj. v kartézské mocnině X^2 \,\. . * Posloupnosti na množině reálných čísel nejsou nic jiného, než prvky množiny \mathbb{R}^{\omega} \,\. . * Obecná (druhá) definice se používá v kardinální aritmetice k definici kardinální mocniny. * Každá algebraická struktura je obvykle definována jako nějaká množina X \,\. , na které jsou zavedeny nějaké (nejčastěji binární) operace. Tyto operace nejsou nic jiného, než zobrazení X^2 \,\. do X \,\. (obecněji X^n \,\. do X \,\. , kde n \,\. je arita konkrétní operace).

Související články

Kartézský součin * Kardinální aritmetika

Kategorie:Množinové operace a vlastnosti