Kruhová úseč

Technology

12 hours ago

Author

výseč

Kruhová úseč. +more Značení: M - střed kružnice, r - poloměr kružnice, AB - tětiva, s - délka tětivy, h - výška úseče, α - středový úhel, b - délka oblouku, A - obsah úseče.

Kruhová úseč je část kruhu vymezená tětivou a kruhovým obloukem vzniklá rozdělením kruhu sečnou.

Každá úseč je příslušná středovému úhlu α, který může být konvexní (0° < α < 180°), konkávní (180° < α < 360°), nebo přímý (α = 180°; polokruh).

Obvod úseče, poloměr, tětiva a výška

Použité značení: * r - poloměr kruhu * α - středový úhel, \alpha = 2 \arcsin \. \left( \frac{s}{2r} \right) ; \alpha=4\ \mathrm{arctg}\biggl(\frac{h}{(s/2)}\biggr) ; \alpha=2\ \arcsin\biggl(\frac{4hs}{s^2+4h^2}\biggr) ; \alpha=2\,\mathrm{arctg} \Biggl(\frac{(s/2)}{\bigl(\frac{s^2}{8h}-\frac{h}{2}\bigr)}\Biggr); \alpha=2\,\mathrm{arctg} \biggl(\frac{4sh}{s^2-4h^2}\biggr) * s - délka tětivy, s = 2 r \sin \. +more \left( \frac{\alpha}{2} \right) ; s=2r \sqrt{\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos(\alpha)} * h - výška oblouku, h=r\biggl(1-\cos\Bigl(\frac{\alpha }{2}\Bigr)\biggr) ; h=r-\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-s^2} ; r^2 = (s/2)^2 + (r-h)^2 * r = \frac{s^2}{8h} + h/2 ; r=\frac{(s/2)^2+h^2}{2h}; r=\frac{(s/2)}{\mathrm{sin}\biggl(2\, \mathrm{arctg}\Bigl(\frac{h}{(s/2)}\Bigr)\biggr)} ; r=\frac{s}{2\, \mathrm{sin}\Bigl(2\, \mathrm{arctg}\bigl(\frac{s}{2h}\bigr)\Bigr)} * s = 2h\surd(\frac{2r}{h} - 1) ; s = 2\surd(2rh - h^2) ; s=2\, \tan\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)\cdot\biggl(\frac{b}{\mathrm{arc}\ \alpha }-h\biggr) * h = r - r\surd(1 - (s/2r)^2) .

* b - délka oblouku: b = \mathrm{arc}\, \alpha\cdot r (arc = úhel v radiánech); b=\arcsin\Biggl(\frac{s}{h+\tfrac{s^2}{4h}}\Biggr)\cdot\biggl(h+\frac{s^2}{4h}\biggr); b=2r \arcsin\biggl(\frac{s}{2r}\biggr)\cdot\frac{\pi}{180} (pro nastavení kalkulačky na stupně); b=4\biggl(\frac{s^2}{8h}+h/2\biggr)\cdot \, \mathrm{arctg}\biggl(\frac{h}{(s/2)}\biggr)\cdot\frac{\pi}{180} (pro nastavení kalkulačky na stupně)

Obvod kruhové úseče: * o = b + s * o = \mathrm{arc}\, \alpha\cdot r + s (arc = úhel v radiánech) * o = 2 r \arcsin \. \left( \frac{s}{2r} \right) + s * o = \mathrm{arc}\, \alpha\cdot r + 2 r \sin \. +more \left( \frac{\alpha}{2} \right) (arc = úhel v radiánech) * o = 2 r \arcsin \. \left( \frac{s}{2r} \right)\cdot\frac{\pi}{180} + 2 r \sin \. \left( \frac{\alpha}{2} \right) (pro nastavení kalkulačky na stupně).

V případě, že je úhel α +moreBAhl. C5. AF'>konvexní (0 S_V = \tfrac{arc\ \alpha \cdot r^2}{2} ) bez obsahu rovnoramenného trojúhelníka ( S_T = r^2 \sin\. \tfrac{\alpha}{2} \cos\. \tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{r^2}{2} \sin \alpha; kladné číslo).

:S = S_V - S_T = \frac{r^2}{2} \left( arc\ \alpha - \sin \alpha \right)

V případě, že je úhel \alpha konkávní (π S_T = \tfrac{r^2}{2} \sin \alpha) záporný, takže pro celkový obsah úseče opět platí předchozí vzorec:

:S = \frac{r^2}{2} \left( \alpha - \sin \alpha \right)

Známe-li výšku úseče h a poloměr:

: S = r^2 \arccos\!\left(\frac{r-h}{r}\right) - (r-h)\sqrt{2hr-h^2}

V praxi je úseč často určena šířkou s (délka tětivy) a výškou h. Pro obsah pak platí :S=\frac{1}{64h^2}\left( \left( s^2+4h^2 \right)^2 \arccos{\frac{s^2-4h^2}{s^2+4h^2}}-4sh\left( s^2-4h^2 \right) \right)