Cesko.wiki Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty
Author
Albert FloresObyčejná lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, krátce lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je důležitým typem diferenciálních rovnic, které lze explicitně vyřešit. Obecně má tvar:
a_n y^{(n)}+ a_{n-1} y^{(n-1)}+ \cdots + a_1 y'+ a_0 y=g(x)
kde
* a_0, a_1, \ldots a_n jsou konstanty; aby rovnice byla skutečně n-tého řádu, musí být a_n \neq 0 (a bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že a_n=1) * x je nezávislá proměnná, * y je neznámá funkce proměnné x, tj. y=y(x), * y', y, \ldots y^{(n-1)}, y^{(n)} jsou derivace funkce y až do řádu n * g(x) je libovolná funkce proměnné x.
Postup řešení
Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty se nejdříve řeší přidružená homogenní rovnice, v níž je g(x) nahrazeno nulou; její obecné řešení označíme y_h. Pak je nutné nalézt alespoň jedno partikulární řešení y_p původní rovnice. +more K tomu je možné použít metodu variace konstant nebo řešení odhadnout podle tvaru funkce g(x). Obecné řešení původní nehomogenní rovnice je pak součet.
:y = y_h + y_p.
Homogenní rovnice
Homogenní rovnice n-tého řádu má tvar:
a_n y^{(n)}+ a_{n-1} y^{(n-1)}+ \cdots + a_1 y'+ a_0 y=0
Důležitou charakteristikou takovéto rovnice je charakteristická rovnice:
a_n \lambda^n+ a_{n-1} \lambda^{n-1}+ \cdots + a_1 \lambda + a_0=0
V případě, že má polynom jen jednoduché kořeny \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n, je obecným řešením rovnice:
y=C_1 e^{\lambda_{1}x} + C_2 e^{\lambda_{2}x} + \cdots + C_n e^{\lambda{n}x}
V případě, že má kořen \lambda_i násobnost k, pak je zřejmé, že uvedené řešení by neobsahovalo dostatečný počet integračních konstant. V tom případě využijeme skutečnosti, že rovnici řeší i tyto lineárně nezávislé funkce:
e^{\lambda_i x},x e^{\lambda_i x},x^2 e^{\lambda_i x},\cdots, x^{k-1} e^{\lambda_i x}
které ke k-násobnému kořenu poskytují právě k lineárně nezávislých řešení. Obecné řešení (obecný integrál) je pak lineární kombinace uvedených funkcí, pro všechny kořeny s libovolnou násobností. +more Protože je součet násobností všech kořenů roven n, má výsledné řešení n integračních konstant.