Cesko.wiki Meneláova věta
Author
Albert FloresPříklad přímky EDF v případě, kdy protíná trojúhelník Příklad přímky EDF v případě, kdy neprotíná trojúhelník Meneláova věta je tvrzení afinní geometrie o trojúhelnících tradičně připisované starořeckému matematikovi Menelaovi Alexandrijskému. Je duální k Cévově větě.
Znění Meneláovy věty
Máme-li dány body A,B a C, které tvoří trojúhelník ABC, a jiné body D, E a F, které leží na přímkách BC, AC a AB, pak body D, E a F leží na přímce právě tehdy, když platí :\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1
V tomto výrazu uvažujeme délky úseček se znaménkem, které je dáno tím, nacházejí-li se body D, E a F uvnitř patřičných úseček, nebo vně. Například podíl AF/FB je kladný právě tehdy, pokud bod F leží na úsečce AB.
Důkaz
Nejdříve ověříme znaménko levé strany a ukážeme, že musí být vždy záporné. To plyne z toho, že přímka buď trojúhelník neprotne vůbec, nebo jej protne právě ve dvou bodech (viz Paschův axiom). +more Na levé straně je tedy lichý počet záporných zlomků a jejich součin bude vždy záporný.
Spustíme kolmice a, b a c z bodů A, B a C na přímku DEF. Z podobnosti trojúhelníků plyne, že :\frac
| AF |
|---|
tedy :\left|\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{abc}{abc}\right|= 1
Ještě zbývá dokázat, že pokud by body na přímce neležely, pak rovnost neplatí. Uvažujme bod X na přímce AB, který je různý od bodu F. +more Označme AF, AX a AB po řadě jako n, n', s. Předpokládejme, že rovnost platí i pro X. Pak platí :\frac{AF}{FB} = \frac{AX}{XB}, neboli :\frac{n}{s-n} =\frac{n'}{s-n'}, odkud uvedením na společného jmenovatele a zjednodušením dostaneme n=n'. Tedy F=X, čímž je důkaz hotov.
Externí odkazy
[url=http://planetmath. org/encyclopedia/MenelausTheorem. +morehtml]Meneláova věta[/url] - na PlanetMath (anglicky) * [url=http://mathworld. wolfram. com/MenelausTheorem. html]Meneláova věta[/url] - na Mathworldu (anglicky).