Nyquistův–Shannonův vzorkovací teorém

Technology

12 hours ago

Author

Nyquistův-Shannonův vzorkovací teorém (také Shannonův teorém, Nyquistův teorém, Kotělnikovův teorém, Nyquistův-Shannonův teorém, Shannonův-Nyquistův-Kotělnikovův teorém apod.) je fyzikální tvrzení o tom, že „přesná rekonstrukce spojitého, frekvenčně omezeného signálu z jeho vzorků je možná tehdy, pokud byla vzorkovací frekvence vyšší než dvojnásobek nejvyšší harmonické složky vzorkovaného signálu.“

Teorém je pojmenovaný po fyzicích Harrym Nyquistovi (1889-1976), Claudovi Shannonovi (1916-2001) a Vladimiru Kotělnikovovi (1908-2005).

Shannonův teorém a vzorkovací frekvence v praxi

V praxi se tedy vzorkovací frekvence volí dvakrát větší plus ještě malá rezerva, než je maximální požadovaná přenášená frekvence. V telekomunikacích je to např. +more 8 kHz, neboť je třeba přenášet pouze signály ve standardním telefonním pásmu (od 0,3 do 3,4 kHz - zaokrouhleno směrem nahoru 4 kHz). Například u záznamu na CD je to 44,1 kHz, neboť průměrné zdravé lidské ucho slyší maximálně cca do 20 kHz, a tudíž vzorkovací frekvence 44,1 kHz byla zvolena s určitou rezervou.

Shannonův teorém lze vyjádřit vztahem

f_{\rm vz}>2f_{\max} [s^{-1}],

kde f_{\rm vz} je frekvence vzorkování, f_{\max} je maximální frekvence, která se vyskytuje v signálu.

Při použití nižší vzorkovací frekvence může dojít k tzv. aliasingu - rekonstruovaný signál je výrazně odlišný od původního vzorkovaného signálu.

Shannonův teorém pro vzorkování obrazu

Nechť f(x,y) je spojitá funkce obrazu. Vzorkováním funkce f(x,y) rozumíme reprezentaci této funkce pomocí matice (označme ji d(x,y)).

Dále definujme konvoluci dvou funkcí f(x),g(x)\in L^1 jako

:f(x)*g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(x-t)\,{\rm d}t.

Označme F(u,v) jako Fourierovu transformaci funkce f(x,y).

Definujme ještě tzv. delta funkci \delta, pro kterou platí:

:\delta(x) = 0 \Leftrightarrow x\neq 0,

:\delta(x) = ? \Leftrightarrow x=0,

:\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,{\rm d}x = 1.

Pak vzorkování s krokem \Delta x, \Delta y je pouze násobení funkce obrazu nekonečným polem delta funkcí s(x,y) definovaným jako

:s(x,y) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta\left(x-i\Delta x, y-j\Delta y\right).

Tedy d(x,y) = f(x,y)\,\,s(x,y).

Platí, že Fourieova transformace funkce s(x,y) má tvar

: S(u,v) = \frac{1}{\Delta x \Delta y}\sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta\left(u-\frac{i}{\Delta x}, v-\frac{j}{\Delta y}\right).

Díky konvolučnímu teorému, který říká

:\mathcal{F}\{ f(x) \ast g(x)\}=\mathcal{F}\{f(x)\}\cdot\mathcal{F}\{g(x)\}\, = F(u) \cdot G(u),\,

:\mathcal{F}\{ f(x)\cdot g(x)\}=\mathcal{F}\{f(x)\}\ast \mathcal{F}\{g(x)\}\,=F(u) \ast G(u),\,

platí, že

:D(u,v) = F(u,v)*S(u,v).\,

Fourierův obraz vzorkované funkce f \cdot s je pak konvoluce Fourierova obrazu F funkce f s polem delta funkcí S. To znamená, že D(u,v) je nekonečné pole Fourierových obrazů funkce f. +more Při vzorkování s menším krokem se tyto obrazy od sebe vzdalují a naopak při vzorkování s delším krokem se k sobě přibližují. Pokud vzorkujeme příliš řídce, mohou se tyto obrazy protnout a vzniká efekt zvaný aliasing. Pokud je funkce frekvenčně omezená, je možné ji navzorkovat beze ztráty informace (tzn. že je možné ze vzorků opět získat funkci f v původní podobě).

Dle Shannonova teorému je pak ideální frekvence pro vzorkování rovna dvojnásobku maximální frekvence vyskytující se ve funkci f. Při vzorkování s krokem menším, než je polovina maximální frekvence, vzorkuji zbytečně moc. +more Při kroku větším než polovina maximální frekvence se Fourierovy obrazy protnou a vzniká aliasing.