Cesko.wiki Peanovy axiomy
Author
Albert FloresGiuseppe Peano (1858-1932) byl italský matematik, filosof a logik (portrét asi z roku 1920). V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou \mathbb{N}_0. Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s \mathbb{N}_0. Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.
Znění axiomů
Formální zápis
V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla): * (\exists x) (\forall y)(y' \neq x) * (\forall x) (\exists y ) (x' = y) * (\forall x) (\forall y) (x' = y' \rightarrow x = y) * (\forall \varphi) (\varphi(0) \land (\forall x)(\varphi(x)\rightarrow \varphi(x')) \rightarrow (\forall x)\,\varphi(x))
Slovní zápis
Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel: * Existuje číslo (zpravidla označované 0), které není následníkem žádného čísla. * Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem. +more * Různá přirozená čísla mají různé následovníky. * Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.
Axiom indukce
Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost \varphi. Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud p je výrok závisející na n, tak: : \exists n' \in \mathbb{N}\ (p(n') \wedge (\forall n \in \langle n', +\infty) \cap \mathbb{N}\ (p(n) \implies p(n+1))) \implies \forall m \in \langle n',+\infty) \cap \mathbb{N}\ p(m). +more Pokud je možné najít n' pro které platí výrok p a pokud pro výrok p platí pro n větší n', tak platí pro n+1, potom výrok p platí pro každé m větší n'.
Definice operací a uspořádání na přirozených číslech
Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto: * Součet \,a+b definujeme indukcí podle druhého sčítance: \,a+0=a,\; a+b'=(a+b)' . * Součin a\cdot b definujeme indukcí podle druhého činitele: a\cdot 0=0,\; a\cdot b'= a \cdot b +a. +more * Relaci a\leq b definujeme formulí a\leq b \leftrightarrow (\exists c)(a+c=b).
Přirozená čísla bez nuly
Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.