Cesko.wiki Prostá funkce
Author
Albert FloresProstá funkce je v matematice funkce, která žádnou funkční hodnotu nenabývá vícekrát. Je to důležitá vlastnost spojená s řešením rovnic, protože nás informuje o tom, že rovnice mající na jedné straně prostou funkci a na druhé straně funkční hodnotu nemá více než jedno řešení. Tuto informaci je důležité mít například před použitím numerických metod řešení rovnic.
Definice
Funkci f na definičním oboru D označujeme jako prostou na D, pokud pro každé dvě hodnoty x_1 \neq x_2 z D platí f(x_1) \neq f(x_2), tedy pro libovolnou dvojici různých x jsou různé i hodnoty funkce f(x).
Příklad
Příkladem prosté funkce je např. libovolná lineární funkce s nenulovým koeficientem f(x) = ax+b, a \ne 0 - vynásobení stejným nenulovým číslem a přičtení stejného čísla ke dvěma různým číslům nemůže nikdy vést ke stejnému výsledku. +more Naopak příkladem neprosté funkce je druhá mocnina f(x)=x^2, neboť např. f(-2)=f(2)=4.
Vlastnosti
Pokud je funkce f na D ostře monotonní (tedy její hodnoty neustále rostou nebo neustále klesají), pak je na D také prostá, neboť se v žádném jiném bodu nemůže vrátit do stejného výsledku. Opačné tvrzení (tedy že pokud je funkce prostá, pak je i ostře monotonní) platí pouze pro spojité funkce, u nichž nemůže dojít ke "skokovým" změnám funkčních hodnot; pro tyto funkce jsou tak tvrzení o prostosti a ostré monotonicitě ekvivalentní.
Mezi funkcemi nespojitými však existují případy prostých funkcí, které ostře monotonní nejsou. Např. +more prostá funkce 1 \to 3, 2 \to 4, 3 \to 2, 4 \to 1 je na množině \{1, 2\} rostoucí, zatímco na množině \{3, 4\} klesající, a na svém celém definičním oboru tedy není monotonní.
Souvislost s inverzní funkcí
K prosté funkci existuje funkce inverzní - např. k funkci exponenciální je inverzní funkcí logaritmus. +more Funkcím, které nejsou prosté, nelze inverzní funkci přiřadit; pokud jsou však prosté na určité podmnožině svého definičního oboru, lze je invertovat na této podmnožině - takto je např. druhá odmocnina inverzní funkcí k druhé mocnině na intervalu x \ge 0, protože druhá mocnina je na tomto intervalu prostá.