Průběh funkce

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Průběh funkce Pokud se snažíme zjistit alespoň přibližný tvar grafu funkce, hovoříme o tom, že vyšetřujeme průběh funkce. Při tom se zkoumají různé vlastnosti funkce a hledají se funkční body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce se zajímáme o následující vlastnosti: definiční obor a obor hodnot určíme periodičnost, sudost a lichost funkce a její ohraničenost průsečíky grafu se souřadnými osami Průsečík grafu funkce f(x) s osou y získáme dosazením hodnoty x=0 do funkce f, tzn. získáme hodnotu y_0 = f(0). Průsečík grafu funkce f(x) s osou x získáme řešením rovnice f(x) = 0. intervaly spojitosti funkce body nespojitosti a limity v bodech nespojitosti určíme první derivaci funkce, kterou využijeme k určení intervalů monotonie stacionárních bodů a lokálních extrémů vypočteme druhou derivaci a s její pomocí určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti inflexní body rovnice asymptot *funkční hodnoty ve vybraných význačných bodech (tím jsou myšleny nejen extrémy či inflexní body, ale také body informaci o průběhu funkce mezi těmito body)

Na základě získaných výsledků vyšetřování průběhu funkce pak lze sestrojit graf.

Příklad

Vyšetřujme průběh funkce y = x\; \ln x.

Zatímco x je definováno pro všechna reálná čísla, logaritmus je definován pouze pro x > 0. Definičním oborem vyšetřované funkce tedy bude (0,+\infty).

Vzhledem k tomu, že funkce je definována pouze pro x > 0, není periodická, ani lichá nebo sudá.

Pro limitu v bodě 0 určíme pomocí l'Hospitalova pravidla :\lim_{x \rightarrow 0+} x \; \ln x = \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^2}} = 0 Funkci lze tedy definovat také v bodě y(0) = 0, tzn. rozšířit definiční obor na \langle 0, +\infty).

Průsečík s osou y získáme dosazením x = 0, tedy y = 0.

Průsečík s osou x získáme z rovnice x \; \ln x = 0, která má řešení x_1 = 0, x_2 = 1.

První a druhá derivace funkce jsou :y^\prime = \ln x + 1 :y^{\prime\prime} = \frac{1}{x} Funkce je rostoucí v intervalu, ve kterém platí y^\prime > 0, což lze po dosazení zapsat jako \ln x > -1. Řešením získáme, že funkce je rostoucí pro x > \frac{1}{e}.

Funkce je klesající v intervalu, ve kterém platí y^\prime , tzn. \ln x . Řešením získáme, že funkce je klesající pro x .

V bodě x_3 = \frac{1}{e} je y^\prime(x_3) = 0. Tento bod je tedy stacionárním bodem. +more Již z rozložení intervalů monotonie lze určit, že se jedná o ostré lokální minimum, což lze ověřit dosazením do druhé derivace, neboť y^{\prime\prime}(\frac{1}{e}) = e > 0. Hodnota funkce v tomto bodě je y(\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}.

Vzhledem k tomu, že y^{\prime\prime} > 0 na celém definičním oboru funkce, je funkce konvexní ve všech bodech, kde je definována. Funkce nemá žádný inflexní bod.

Asymptoty k funkci neexistují, neboť k = \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln x = +\infty.

Graf vyšetřované funkce tedy bude mít následující průběh.

Příklad vyšetřování průběhu funkce.