Rayleighův rozptyl

Načervenalé sluneční světlo těsně nad obzorem a modrá barva nebe jsou důsledkem Rayleighova rozptylu. Rayleighův rozptyl je rozptyl světla na molekulách plynu případně na jiných částicích podstatně menších než vlnová délka světla. Důsledkem Rayleighova rozptylu v atmosféře Země je modrá barva oblohy.

Rozptyl světla je důležitý fyzikální jev a může mít různé vlastnosti, podle toho, na čem se světlo rozptyluje - na malých nebo větších částicích nebo na nerovném, matném povrchu. Anglický fyzik +more_baron_Rayleigh'>John W. Rayleigh při popisu rozptylu světla v zemské atmosféře v roce 1899 vyšel z předpokladu, že světlo rozptylují přímo molekuly vzduchu a spočetl, že intenzita rozptýleného světla silně závisí na jeho vlnové délce (je nepřímo úměrná její čtvrté mocnině). To znamená, že modré světlo s krátkou vlnovou délkou se rozptyluje více než světlo červené. Důsledkem této závislosti je například modrá barva oblohy, vznikající při průchodu slunečního světla zemskou atmosférou. Nutnou podmínkou ovšem je, aby polohy jednotlivých rozptylujících center (molekul, atomů) byly náhodné. Na to poukázali počátkem 20. století Marian Smoluchowski a Albert Einstein. Tato podmínka je splněna například v plynu. Pokud nejsou polohy rozptylujících center náhodné, pak se stává rozptyl koherentním, což vede k jevu difrakce záření.

Rayleighův rozptyl nebyl pozorován pouze v atmosféře naší Země. Hraje důležitou roli ve stavbě atmosfér chladných hvězd (zejména hvězd populace II), ve kterých převažuje vodík v neutrálním stavu (ionizovaný vodík nemá diskrétní energetické hladiny, proto na něm k Rayleighově rozptylu nedochází). +more Rayleighův rozptyl byl pozorován také v atmosférách exoplanet.

Rayleighův rozptyl úzce souvisí s jiným druhem rozptylu, s Ramanovým rozptylem. Zatímco se při Rayleighově rozptylu frekvence záření nemění, při Ramanově rozptylu je frekvence dopadajícího a rozptýleného záření různá. +more K rozvoji moderní teorie rozptylu výraznou měrou přispěl český fyzik Georg Placzek.

Klasická teorie Rayleighova rozptylu

Při odvození účinného průřezu Rayleighova rozptylu v rámci klasické fyziky je možné vyjít z rovnic popisujících lineární harmonický oscilátor s tlumením v poli elektromagnetické vlny

m(\ddot{\vec x}+\omega_0^2\vec x)=e\vec E_0 {e}^{i\omega t}-m\gamma\dot{\vec x}.

Tato rovnice v rámci klasické fyziky popisuje kmity vázaných elektronů v atomu. Úhlová frekvence \omega_0 je frekvence vlastních kmitů, vyjadřující frekvenci čarových přechodů vázané soustavy elektronů a atomového jádra. +more Zrychlení vynucených kmitů je dáno partikulárním řešení této diferenciální rovnice.

\ddot{\vec x}=\frac{-(e\omega^2/m) \vec E_0 {e}^{i\omega t}} {\omega^2-\omega_0^2+i\gamma\omega}.

V důsledku pohybu nabité částice se zrychlením dochází k vyzařování elektromagnetického záření (vyzařování je důvodem, proč je oscilátor tlumený). Vyzařovaný výkon souvisí se zrychlením podle vztahu

P=\frac{2e^2\ddot{x}^2}{3c^3}.

Středováním přes periodu je možné získat výraz pro střední vyzářený výkon ve tvaru

\langle P(\omega)\rangle={\frac{e^4\omega^4}{3m^2c^3}}\frac{E_0^2}{(\omega^2-\omega_0^2)^2+\gamma^2\omega^2}

a podělením intenzitou záření účinný průřez

\sigma(\omega)=\frac{8\pi e^4\omega^4}{3m^2c^4}\frac{1}{(\omega^2-\omega_0^2)^2+\gamma^2\omega^2}.

Tento výraz pro frekvence blízké středu spektrální čáry \omega\approx\omega_0 vede k přirozenému rozšíření spektrální čáry. Pro zanedbatelný útlum dává pro volný elektron (\omega_0=0) účinný průřez Thomsonova rozptylu. +more Konečně, pro malé frekvence \omega\ll\omega_0 získáváme účinný průřez Rayleighova rozptylu jako.

\sigma(\omega)=\frac{8\pi}{3} \left(\frac{e^2}{mc^2}\right)^2\frac{\omega^4}{\omega_0^4}\sim\frac{1}{\lambda^4}.

Je patrné, že účinný průřez je nepřímo úměrný čtvrté mocnině vlnové délky, s rostoucí vlnovou délkou tedy rychle klesá.

Nerelativistická kvantová teorie Rayleighova rozptylu

Pro výpočet účinného průřezu Rayleighova rozptylu v rámci (nerelativistické) kvantové teorie budeme sledovat interakci systému vázaných elektronů (v atomu či molekule) s polem záření. Tuto interakci je možné popsat pomocí interakčního hamiltoniánu jako

H_i=H_{i1}+H_{i2}=-\frac{i\hbar e}{mc}\nabla\cdot\sum_\omega(q_\omega\vec A_\omega+ q_\omega^\ast\vec A_\omega^\ast)+ \frac{e^2}{2mc^2}\sum_{\omega,\omega'}(q_\omega q_{\omega'}\vec A_\omega \vec A_{\omega'}+q_\omega q_{\omega'}^\ast\vec A_\omega\vec A_{\omega'}^\ast+ q_{\omega}^\ast q_{\omega'} A_{\omega}^\ast A_{\omega'}+ q_{\omega}^\ast q_{\omega'}^\ast A_{\omega}^\ast A_{\omega'}^\ast),

kde \vec A je vektorový potenciál rozvinutý v řadu

\vec A(\vec x,t)=\sum\left[q_\omega(t) \vec A_\omega(\vec x)+ q_\omega^\ast(t)\vec A_\omega^\ast(\vec x)\right],

jejíž příslušné koeficienty rozvoje jsou dány

\vec A_\omega(\vec x)=\sqrt{\frac{4\pi c^2}{L^3}}\,\vec a_\omega\,\exp(-i\vec k\vec r),

operátory q_\omega(t) a q_\omega^\ast(t) jsou kreační a anihilační operátor a jednotkový vektor \vec a_\omega, který je kolmý ke směru šíření vlny, určuje polarizaci.

Pro odvození Rayleighova rozptylu je nutné započítat první člen interakčního hamiltoniánu v druhém řádu poruchové teorie a druhý člen interakčního hamiltoniánu v prvním řádu poruchové teorie. Ve výsledku tedy musíme spočítat maticový element

\langle n|H_s|n\rangle=\sum_{n}\frac{\langle n|H_{i1}|n\rangle\langle n|H_{i1}|n\rangle}{{\tilde E}_n-{\tilde E}_{n}}+\langle n|H_{i2}|n\rangle,

kde {\tilde E}_n je energie stavu |n\rangle elektronového obalu a pole fotonů. Po dosazení má interakční hamiltonián tvar

\langle n|H_s|n\rangle= \frac{2\pi e^2\hbar}{L^3m^2} \left[m\langle n|\vec a_\omega\vec a_{\omega}|n\rangle+ \sum_{n}\frac{\langle n|\vec p\vec a_\omega|n\rangle \langle n|\vec p\vec a_{\omega}|n\rangle}{E_n-E_{n}+\hbar\omega}+ \sum_{n}\frac{\langle n|\vec p\vec a_\omega|n\rangle \langle n|\vec p\vec a_{\omega}|n\rangle}{E_n-E_{n}-\hbar\omega}\right].

Příslušný účinný průřez má tvar

\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{2\pi}{\hbar} |\langle n|H_s|n\rangle|^2\frac{\mathrm{d}\rho(E)}{\mathrm{d}\Omega}\frac{L^3}{c}.

Při jeho výpočtu z předchozího maticového elementu využijeme dipólové aproximace, což ve svém výsledku vede k diferenciálnímu účinnému průřezu ve tvaru

\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{e^4}{m^2c^4}\cos^2\phi\left[1+ \sum_{n}f_{nn}\frac{\omega_{nn}^2}{\omega^2-\omega_{nn}^2}\right]^2,

kde f_{nn} je síla oscilátoru a \omega_{nn} je úhlová frekvence přechodu. Pro frekvence záření mnohem menší než frekvence jednotlivých přechodů dostáváme po integraci přes úhly vztah odpovídající účinnému průřezu v klasickém případě

\sigma=\frac{8\pi}{3}\left(\frac{e^2}{mc^2}\right)^2\left(\sum_{n}f_{nn} \frac{\omega^2}{\omega_{nn}^2}\right)^2.

Literatura

A. Einstein, Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des kritischen Zustandes, Ann. +more Phys. , 14, 368 * H. Griem, Principles of Plasma Spectroscopy, Cambridge University Press, Cambridge 2005 * D. Mihalas, Stellar atmosphres, Freeman & Co. , San Francisco 1978. * A. G. Rojo, P. R. Berman, Rayleigh scattering revisited: From gases to crystals, Am. J. Phys. , 78, 94.

Externí odkazy

Kategorie:Světlo