Rozdělení rychlosti

Rozdělení rychlosti po průměru potrubí nebo po svislici v případě otevřeného koryta je v hydrologii zajímavé z mnoha teoretických i praktických důvodů (např. měření průtoků, vodní stroje a pod.). První návrhy rozdělení byly založeny na čisté empirii (přehled k počátku 20. stol. viz ), s rozvojem teoretických znalostí bylo odvozeno několik typů rozdělení rychlosti. Je zajímavé, že se jedná o typy, které byly navrženy na empirickém základě. Nejběžnější je rozdělení logaritmické, považované za teoreticky nejlépe podložené, a rozdělení mocninné (též parabolické), jejichž výhodou je jednoduchost. V literatuře lze nalézt ještě několik dalších, která se však téměř nepoužívají.

=== Logaritmické rozdělení === Podle všeobecně přijímané Prandtlovy hypotézy je tangenciální napětí \tau [Pa] v libovolném bodu proudu rovno

\tau=\rho l^2\Bigl({du \over dy}\Bigr)^2

kde \rho [kgm−3] je hustota kapaliny, l=\kappa y tzv. směšovací délka, kde \kappa [-] je tzv. +more Kármánova univerzální konstanta turbulence a y [m] vzdálenost bodu od stěny potrubí, resp. výška uvažovaného bodu nade dnem, a u [ms−1] časově střední rychlost v uvažovaném bodu.

Po dosazení a úpravě dostáváme

du={1 \over \kappa} \sqrt{\tau \over \rho} {dy \over y}={v_* \over \kappa}{dy \over y}

kde v_* [ms−1] je tzv. třecí rychlost. Integrací této rovnice získáme tzv. Prandtl-Kármánův univerzální zákon rozdělení rychlosti

u = {v_* \over \kappa}\ln{y \over K}={v_* \over \kappa}(\ln y + K_1)

kde K, resp. K_1 [-] je integrační konstanta. +more Pro hydraulicky drsné koryto rozdělení rychlosti závisí jen na absolutní drsnosti k_s [m] a integrační konstanta pak je K=mk_s a výsledný vztah tedy je.

u={v_* \over \kappa}\ln{y \over {mk_s}}={v_* \over \kappa}\Bigl(\ln{y \over k_s}+ A\Bigr)=v_*\Bigl({1 \over \kappa}\ln{y \over k_s}+ A_1 \Bigr).

Podle Nikuradseho (viz ) je pro pískovou drsnost zhruba m=1/30 a tedy A=3,4, A_1=8,5 (pro \kappa=0,4).

Prandtl-Kármánův vztah se též uvádí ve tvaru tzv. deficitu rychlosti jako

{{u_{max}-u} \over v_*}={1 \over \kappa}\ln {h \over y}

kde u_{max} [ms−1] je maximální rychlost ve svislici a h [m] je hloubka vody ve svislici.

Platnost Prandtl-Kármánova zákona není neomezená; další práce ukázaly, že je omezen jak zdola, tak shora. Zdola se při malých vzdálenostech od stěny uplatňuje vliv vazké podvrstvy, omezení platí pro

{y v_* \over \nu}\leq60, podle jiných pramenů {y v_* \over \nu}\leq30. Horní hranice platnosti logaritmického zákona je udávána {y v_* \over \nu}\geq 5. +more10^3 kde \nu [m2s−1] je kinematická viskozita tekuiny.

Prandtl-Kármánův zákon byl odvozen pro potrubí, avšak jeho platnost se předpokládá i pro otevřená koryta; potvrzuje ji shoda s pokusy Zegždy v kanále s volnou hladinou a homogenní pískovou drsností (podrobně viz ).

=== Mocninné rozdělení rychlosti === Mocninné (parabolické) rozdělení rychlosti je velmi jednoduché, často se používá zejména v hydrometrii. Obvykle se uvádí ve tvaru

{u \over u_{ref}}=\Bigl({y \over y_{ref}}\Bigr)^{1 \over n}

kde u [ms−1] je místní (bodová) rychlost ve výšce y [m] nade dnem, u_{ref} [ms−1] je referenční místní rychlost ve výšce y_{ref} [m] nade dnem a n [-] je konstanta, která závisí na vlastnostech koryta. Jako referenční výška se často uvažuje hloubka vody h [m] ve svislici, takže referenční rychlost je pak u_{max} [ms−1], resp. +more rychlost povrchová. Koeficient n se pohybuje v rozmezí ca n=3 - 12 od koryt širokých drsných po koryta úzká hladká, s běžnými hodnotami pro přirozené toky n=5 - 7. Přesněji může být hodnota n podle Boitena určena ze vztahu.

n=1,77+0,098C

kde C je Chézyho rychlostní součinitel, nebo ze vztahu

n={C \over \sqrt g}\Bigl({2\sqrt g \over {\sqrt g + C}}+0,3\Bigr).

Yen uvádí mocninný zákon v poněkiud jiné, pro teoretické úvahy vhodnější formě

{u \over v_*}=c\Bigl({y \over k_s}\Bigr)^{1 \over n}

kde c [-] je konstanta.

==== Mocninné rozdělení - důsledky ==== Z vlastností parabolického rozdělení vyplývá několik zajímavostí, prakticky využívaných při hydromtrických měřeních. Snadno se dá odvodit, že střední svislicová rychlost

v_s={n \over {n+1}}u_{max}.

Protože maximální rychlost bývá blízko pod hladinou (teoreticky v hladině), lze povětšině uvažovat, že povrchová rychlost je rovna rychlosti maximální, u_{max}=v_p. Podobně lze odvodit výšku nade dnem y_s, v níž je místní rychlost právě rovna střední svislicové rychlosti v_s:

y_s=\Bigl({n \over {n+1}}\Bigr)^n h

kde h [m] je hloubka vody ve svislici. Z těchto dvou vzorců byl vypočten jednak koeficient k_1 pro výpočet střední svislicové rychlosti z rychlosti maximální, resp. +more povrchové (t. j. v_s= k_1 u_{max}), jednak koeficient k_2 pro výpočet výšky bodu, v němž je rychlost právě rovna střední svislicové rychlosti, nade dnem (t. j. y_s=k_2h) pro různé hodnoty koeficientu n a jsou uvedeny v následující tabulce

n	3	4	5	7	10	12
k1	0,750	0,800	0,833	0,875	0,909	0,923
k2	0,422	0,410	0,402	0,393	0,386	0,383

Z vlastností mocninného rozdělení tedy vyplývá teoretická opodstatněnost jednobodové metody určení střední svislicové rychlosti (viz hodnoty k_2 v nejběžnějším rozmezí hodnot n=5 - 7, kde chyba je z praktického pohledu nevýznamná až zanedbatelná). Obdobně se dá ukázat i teoretická opodstatněnost metody dvoubodové. Koeficient k_1 může být s výhodou využit pro měření za zvláštních okolností (např. větší povodně), kdy z povrchové rychlosti (lze určit např. pomocí hladinových plováků nebo vhodným měřidlem) lze přepočítat rychlosti střední svislicové. Ve stabilním měrném profilu by měl tento koeficient být ověřen v rámci hydrometrických měření pro konstrukci a ověřování měrné křivky.

Je zajímavé, že zejména hodnoty koeficientu k_1 neobyčejně dobře souhlasí s hodnotami uváděnými Tolmanem podle empirických poznatků starších autorů.

=== Rozdělení rychlostí napříč koryta === Rozdělení rychlostí ve svislici či na poloměru potrubí je teoreticky popsáno a zdůvodněno. Oproti tomu rozdělení svislicových rychlostí napříč koryta, resp. +more bodových rychlostí po příčném profilu, čeká na objasnění. Příčinou je celá řada obtížně zohlednitelných vlivů - variabilita drsnosti po omočeném obvodu, nepravidelnosti příčného profilu, sekundární příčné proudění aj.

Je známo, že rozdělení rychlostí napříč koryta závisí na jeho tvaru a mění se s vodním stavem, resp. průtokem Q [m3s−1]. +more Zatímco při nízkých vodních stavech je zejména v nepravidelném korytě rozdělení rychlostí napříč koryta taktéž značně nepravidelné, se zvyšujícím se vodním stavem se nepravidelnost rozdělení rychlostí snižuje.

Patočka cituje Velikanova, podle kterého je střední svislicová rychlost v libovolné svislici úměrná odmocnině hloubky h,

v_s=a \sqrt h

kde a je konstanta,

a={Q \over {\int_{0}^{B} h^{3/2} dB}}

kde B [m] je šířka koryta v hladině.

Chiu se spolupracovníky se pokusil o simulaci rychlostního pole na bázi křivočaré souřadnicové sítě, avšak postup je značně složitý. Na druhou stranu výsledky jsou nadějné a metoda již byla několikrát použita.

Reference

Kategorie:Hydraulika Kategorie:Hydrologie Kategorie:Hydrometrie