Schwarzschildův poloměr

Technology

12 hours ago

Author

Schwarzschildův poloměr je charakteristická vzdálenost pro každou hmotnost. Je to poloměr koule, do které musí být veškerá hmota o dané hmotnosti stlačena, aby již žádná síla nemohla odvrátit její zhroucení do gravitační singularity. Tento termín se používá ve fyzice a astronomii, zejména v teoriích gravitace jako je například Obecná teorie relativity. Tento poloměr byl poprvé odvozen roku 1916 Karlem Schwarzschildem, když vyplynul z jeho přesného řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole vně nerotujícího sféricky symetrického tělesa.

Schwarzschildův poloměr r_s je přímo úměrný dané hmotnosti m. Vzorec pro jeho výpočet je: : r_s = \frac{2Gm}{c^2}, kde G je gravitační konstanta a c rychlost světla.

Zajímavé je, že tento vzorec lze odvodit z čistě nerelativistické newtonovské fyziky, když se do vzorce pro výpočet únikové rychlosti dosadí rychlost světla. Obecně se má za to, že takovýto výsledek je správný jen čistě náhodou. +more Použité fyzikální konstanty nejsou tolik překvapivé, ty se dají odvodit již při rozměrové analýze. Zvláštní a překvapivou shodou je konstanta 2. Tento poloměr takto odvodil již Pierre-Simon Laplace v roce 1798.

Vzorec lze ještě zjednodušit dosazením za konstanty:

: r_s = m \times 1.48 \times 10^{-27}, kde r_s je v metrech a m v kilogramech.

Pro hmotnost našeho Slunce vychází Schwarzschildův poloměr přibližně 3 km, zatímco pro naši Zemi zhruba pouhých 9 mm.

Objekt menší než Schwarzschildův poloměr odpovídající jeho hmotnosti se nazývá černá díra. Její povrch je pak pro nerotující těleso horizontem událostí. +more Rotující černá díra vypadá trochu odlišně.

Žádná hmotná částice a ani světlo nemůže uniknout zpod povrchu černé díry. Schwarzschildův poloměr obří černé díry ve středu naší Galaxie je zhruba 7,8 milionů km (asi dvacetinásobek vzdálenosti ze Země na Měsíc). +more Schwarzschildův poloměr pro kouli s průměrnou hustotou rovnou kritické hustotě odpovídá poloměru viditelného vesmíru.

Další použití pro Schwarzschildův poloměr

Schwarzschildův poloměr v gravitační časové dilataci

Gravitační časová dilatace v blízkosti velkého, pomalu rotujícího, téměř kulového tělesa, jako je například Země nebo Slunce může být aproximována použitím Schwarzschildova poloměru následovně:

: \frac{t_r}{t} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}

kde: : t_r\. je uplynulý čas pro pozorovatele na souřadnici "r" uvnitř gravitačního pole; : t\. +more je uplynulý čas pro pozorovatele vzdáleného od masivního objektu (a tudíž vně gravitačního pole); : r\. je vzdálenost pozorovatele (analogicky: klasická vzdálenost od středu objektu); : r_s\. je Schwarzschildův poloměr.

Výsledek Pound, Rebka experimentu v roce 1959 byl souhlasný s předpovědí obecné teorie relativity. Tento experiment změřením gravitační časové dilatace Země, nepřímo měří Schwarzschildův poloměr Země.

Schwarzschildův poloměr v Newtonově gravitačním poli

V Newtonovském gravitačním poli blízko velkého, pomalu rotujícího, téměř kulového tělesa můžeme Schwarzschildův poloměr použít následovně:

: \frac{g}{r_s} \left( \frac{r}{c} \right)^2 = \frac{1}{2} kde:

: g\ je gravitační zrychlení v bodě r; : r_s\ je Schwarzschildův poloměr gravitace tělesa; : r\ je poloměr; : c\ je rychlost světla ve vakuu.

Na povrchu Země:

: \frac{9. 80665\ \mathrm{m/s}^2}{8. +more870056\ \mathrm{mm}} \left( \frac{6375416\ \mathrm{m}}{299792458\ \mathrm{m/s}} \right)^2 = \left(1105. 59\ \mathrm{s}^{-2} \right) \left(0. 0212661\ \mathrm{s}\right)^2 = \frac{1}{2}.

Schwarzschildův poloměr v Keplerových orbitách

Pro všechny kruhové dráhy v blízkosti centrálního tělesa:

: \frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \right)^2 = \frac{1}{2} kde: : r\. je poloměr oběžné dráhy; : r_s\. +more je Schwarzschildův poloměr gravitace centrálního tělesa; : v\. je kruhová rychlost; : c\. je rychlost světla ve vakuu.

Tato rovnost může být zobecněna do eliptické dráhy podle:

: \frac{a}{r_s} \left( \frac{2 \pi a}{c T} \right)^2 = \frac{1}{2} kde: :a\! je nejdelší poloměr elipsy (velká poloosa); :T\! je doba oběhu.

Pro Zemi obíhající Slunce platí:

: \frac{1 \,\mathrm{AU}}{2953.25\,\mathrm m} \left( \frac{2 \pi \,\mathrm{AU}}{\mathrm{light\,year}} \right)^2 = \left(50 655 379.7 \right) \left(9.8714403 \times 10^{-9} \right)= \frac{1}{2}.

Relativistické kruhové orbity a sféra fotonů

Keplerovské rovnice pro kruhové oběžné dráhy mohou být zjednodušeny do relativistických rovnic pro kruhové dráhy s odpočtem pro časovou dilataci v rychlostním výrazu::

: \frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \right)^2 = \frac{1}{2}

: \frac{r}{r_s} \left( \frac{v}{c} \right)^2 \left(1 - \frac{r_s}{r} \right) = \frac{1}{2}

: \left( \frac{v}{c} \right)^2 \left( \frac{r}{r_s} - 1 \right) = \frac{1}{2}.

Konečná rovnice ukazuje, že objekt obíhající rychlostí světla bude mít poloměr oběžné dráhy 1,5krát Schwarzschildův poloměr. Tato speciální oběžná dráha je známá jako sféra fotonů.