Stolzova věta

Stolzova věta nebo Stolzova-Cesàrova věta je věta matematické analýzy, která slouží k výpočtu limity podílu dvou posloupností. Stolzova věta je obdobou L'Hospitalova pravidla pro limity funkcí

Znění věty

Nechť (a_n) a (b_n) jsou dvě reálné posloupnosti, přičemž (b_n) je ostře rostoucí posloupnost nenulových čísel rostoucí nade všechny meze. Nechť navíc existuje limita

:L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_{n}}{b_{n+1} - b_{n}}.

Potom také limita \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} existuje a je rovna číslu L.

Důkaz

Důkaz Stolzovy věty může být založen přímo na definici limity posloupnosti. Z předpokladů víme, že pro každé \varepsilon > 0\, existuje N(\varepsilon) \in \mathbb{N} takové, že \forall n \geq N(\varepsilon) platí:

: L-\varepsilon

kde L je předpokládaná limita posloupnosti. Z předpokladu, že řada b_n ostře roste, odvodíme, že jmenovatelé b_{n+1}-b_n jsou vždy kladní, a smíme tedy jimi nerovnici vynásobit beze změny směru nerovností. +more Dostaneme:.

: (L-\varepsilon)\,(b_{n+1}-b_n)

Nechť dále k je nějaké přirozené číslo větší než N(\varepsilon) a zároveň takové, aby b_{k+1}>0 (jeho existence plyne z předpokladu, že posloupnost b diverguje). Sečtěme poslední uvedenou nerovnost od N(\varepsilon) po k a dostaneme:

:(L-\varepsilon)\sum_{i=N(\varepsilon)}^{k}(b_{i+1}-b_i)

V sumách se však všechny mezilehlé členy navzájem vyruší, takže dostaneme:

: (L-\varepsilon)\,(b_{k+1}-b_{N(\varepsilon)})

což po vydělení kladným číslem b_{k+1} dává:

: (L-\varepsilon)\left(1 - \frac{b_{N(\varepsilon)}}{b_{k+1}}\right)

z čehož po přičtení čísla a_{N(\varepsilon)} / b_{k+1} dospějeme k nerovnici

: (L-\varepsilon)\left(1 - \frac{b_{N(\varepsilon)}}{b_{k+1}}\right) + \frac{a_{N(\varepsilon)}}{b_{k+1}}

Protože posloupnost b diverguje, můžeme s rostoucím k učinit členy a_{N(\varepsilon)} / b_{k+1} a b_{N(\varepsilon)} / b_{k+1} libovolně malými. V limitním přechodu pro k rostoucí do nekonečna tedy dostaneme nerovnici:

: L-\varepsilon \le \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} \le L+\varepsilon,

a je zároveň vidět, že limita \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} existuje, jelikož členy posloupnosti \frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} dokážeme pro dosti vysoké k omezit na libovolně malý interval kolem čísla L, a to je již tvrzení, které jsme chtěli dokázat.

Příklad

Mějme za úkol vypočítat \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}}{\sqrt{n^3}}.

Řešení: Protože jsou splněny předpoklady Stolzovy věty (\lim_{n \to \infty}\sqrt{n^3} = + \infty a po provedení následujícího výpočtu uvidíme, že i druhý předpoklad je splněn), můžeme větu aplikovat:

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+. +\sqrt{n} +\sqrt{n+1} - (\sqrt{1}+\sqrt{2}+. +more+\sqrt{n} )}{\sqrt{(n+1)^3}- \sqrt{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+1)^3}- \sqrt{n^3}}=.

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}}{(\sqrt{n+1}- \sqrt{n})(n+1+\sqrt{n(n+1)}+n) }=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}\,(\sqrt{n+1}+ \sqrt{n})}{2n+1+\sqrt{n(n+1)} } =

\lim_{n \to \infty} \frac{n+1+ n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{2n+1+n\sqrt{1+\frac{1}{n}} } = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}+ \sqrt{1+\frac{1}{n}}}{2+\frac{1}{n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}} } = \frac{1+0+1}{2+0+1} = \frac{2}{3}.

Protože jsme zároveň ověřili, že předpoklady Stolzovy věty platí, můžeme tvrdit, že limita posloupnosti v zadání je rovna 2/3. Přitom jsme při druhé úpravě rozložili jmenovatele podle vzorce a^3 - b^3 = (a-b) (a^2 + ab + b^2) a při třetí jsme zlomek rozšířili výrazem (\sqrt{n+1}+ \sqrt{n}), přičemž se první činitel ve jmenovateli vynásobil podle vzorce a^2 - b^2 = (a-b) (a + b). +more Čtvrtá úprava znamená roznásobení závorky v čitateli a vytknutí n, pátá vykrácení zlomku číslem n, šestá limitní přechod pro jednotlivé členy čitatele i jmenovatele.

Související články

Limita * Posloupnost * L'Hospitalovo pravidlo

Externí odkazy

[url=http://planetmath. org/encyclopedia/ProofOfStolzCesaroTheorem. +morehtml]Důkaz Stolzovy věty[/url] * [url=http://tjn. fjfi. cvut. cz/~edita/StolzNove. pdf]Přednáška prof. Ing. Edity Pelantové, CSc. , o Stolzově větě[/url].

Kategorie:Matematická analýza